Дискретний логарифм

В математиці, особливо в абстрактній алгебрі і її застосуваннях, дискретний логарифм — теоретико-груповий аналог звичайного логарифма. Зокрема, звичайний логарифм log_a(b) — це розв'язок рівняння a^x = b у полі дійсних або комплексних чисел. Подібно, якщо g і h елементи зі скінченної циклічної групи G, тоді розв'язок x рівняння g^x = h зветься дискретним логарифмом h за основою g в групі G.

Приклад

Мабуть найпростіше зрозуміти дискретні логарифми в групі (Z_p)^×. Це множина {1, …, p − 1} класів конгруентності щодо множення за модулем просте p.

Якщо ми хочемо знайти k-й степінь числа з цієї групи, ми можемо зробити це знайшовши його k-й степінь і вирахувавши остачу від ділення на p. Цей процес називається дискретним піднесенням до степеня. Наприклад, розглянемо (Z₁₇)^×. щоб обчислити 3⁴ в цій групі, ми спершу обчислюємо 3⁴ = 81, і тоді ділимо 81 на 17, отримуючи в залишку 13. Отже в групі (Z₁₇)^× 3⁴ = 13 .

Дискретний логарифм — це просто обернена операція. Наприклад, візьмемо рівняння 3^k ≡ 13 (mod 17) for k. Як показано вище k=4 є розв'язком. Через те що 3¹⁶ ≡ 1 (mod 17), також випливає, що якщо n ціле, тоді 3^{4+16 n} ≡ 13 × 1ⁿ ≡ 13 (mod 17). Звідси, рівняння має нескінченно багато розв'язків у вигляді 4 + 16n. Більше того, тому що 16 є найменшим додатнім цілим m, що задовільняє 3^m ≡ 1 (mod 17), тобто 16 — це показник 3 в (Z₁₇)^×, це єдині розв'язки. Тотожно, Розв'язок можна виразити як k ≡ 4 (mod 16).

Постановка задачі

Нехай в деякій скінченній мультиплікативній абелевій групі $G$ задане рівняння

Розв'язок задачі дискретного логарифмування полягає в віднайдені деякого цілого невід'ємного числа $x$, яке задовольняє рівнянню (1). Якщо воно розв'язне, в нього повинно бути хоча б один натуральний розв'язок, що не перевищує порядок групи. Це одразу грубо оцінює складність алгоритму пошуку розв'язків з гори — алгоритм повного перебору, покрокового піднесення бази до наступного степеня (Шаблон:Lang-en), вимагає час виконання лінійний до розміру групи $G$ і отже, показниково залежить від кількості цифр в розмірі групи. Існує дієвий квантовий алгоритм.

Найчастіше розглядається випадок, коли $G=⟨g⟩$, тобто циклічна, породжена елементом $g$. В такому разі рівняння завжди має розв'язок. У випадку довільної групи питання розв'язності задачі дискретного логарифмування вимагає окремого розгляду.

Приклад

Найпростіше розглянути задачу дискретного логарифмування в кільці класів рівності за модулем простого числа.

Нехай дано порівняння

Шаблон:Формула Будемо розв'язувати задачу методом перебору. Випишемо таблицю всіх степенів числа 3. Кожен раз ми обчислюємо остачу від ділення на 17 (наприклад, 3³≡27 — остача від ділення на 17 дорівнює 10).

31 ≡ 3	32 ≡ 9	33 ≡ 10	34 ≡ 13	35 ≡ 5	36 ≡ 15	37 ≡ 11	38 ≡ 16
39 ≡ 14	310 ≡ 8	311 ≡ 7	312 ≡ 4	313 ≡ 12	314 ≡ 2	315 ≡ 6	316 ≡ 1

Зараз легко побачити, що розв'язком порівняння є x=4, оскільки 3⁴≡13.

Зазвичай, на практиці модуль є досить великим числом, щоб метод повного перебору виявився занадто повільним, тому виникає потреба у швидших алгоритмах.

Алгоритми розв'язання

У довільній мультиплікативній групі

Розв'язності задачі дискретного логарифмування у довільній скінченній абелевій групі присвячена стаття J. Buchmann, M. J. Jacobson і E. Teske. В алгоритмі використовується таблиця, що складається з $O(\sqrt{|⟨g⟩|})$ пар елементів і виконується $O(\sqrt{|⟨g⟩|})$ множень. Цей алгоритм повільний і не придатний для практичного застосування. Для конкретних груп існують ефективніші алгоритми.

У кільці лишків за простим модулем

Розглянемо порівняння

Шаблон:Формула де $p$ — просте, $b$ не ділиться на $p$. Якщо $a$ це твірний елемент групи $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, то рівняння (2) має розв'язок за будь-яких $b$. Такі числа $a$ ще відомі як первісні корені, і їх кількість дорівнює $\varphi (p)=p-1$, де $\varphi$ — функція Ейлера. Розв'язок рівняння (2) можна знайти по формулі: Шаблон:Формула

Однак, складність обчислення за цією формулою гірше ніж складність перебирання.

Наступний алгоритм має складність $O(\sqrt{p}\cdot \log p)$.

Алгоритм

1. Присвоїти $H:=\lfloor \sqrt{p}\rfloor +1$
2. Обчислити $c=a^{H}modp$
3. Скласти таблицю значень $c^{u}modp$ для $1\le u\le H$ і відсортувати її.
4. Скласти таблицю значень $b\cdot a^{v}modp$ для $0\le v\le H$ і відсортувати її.
5. Знайти спільні елементи в таблицях. Для них $c^u\equiv b\cdot a^v(\mathrm{mod}p),$ звідки $a^{Hu-v}\equiv b(\mathrm{mod}p).$
6. Видати $Hu-v$.

Існує також багато інших алгоритмів для розв'язання задачі дискретного логарифмування у полі лишків. Їх прийнято розділяти на експоненційні і субекспоненційні. Поліноміального алгоритму для розв'язання цієї задачі не існує.

Див. також

• Дискретне логарифмування на еліптичній кривій