Гіпотеза Каталана

Гіпотеза Каталана — твердження в теорії чисел: Шаблон:Теорема Іншими словами, крім $2^3=8$ і $3^2=9$ не існує інших послідовних степенів натуральних чисел.

Гіпотезу сформулював Ежен Каталан 1844 рокуШаблон:Sfn.

2002 року математик румунського походження Шаблон:Iw в університеті міста Падерборн (Німеччина) довів цю гіпотезу. Відтоді доведену гіпотезу Каталана стали також називати теоремою Міхалеску.

Історія

Історія задачі сягає принаймні з Герсоніда, який довів частковий випадок гіпотези в 1343 році, де (x, y) було обмежено як (2, 3) або (3, 2).

Перший значний прогрес після того, як Каталан висловив свою гіпотезу, з'явився 1850 року, коли Шаблон:Нп розглянув випадок b = 2. Він довів, що рівняння x^m - y² = 1 не має розв'язку для y≠3.

1921 року Т. Нагель повністю дослідив рівняння $x^3-z^t=1$ і $x^y-z^3=1$ для y≠2Шаблон:Sfn.

Для рівняння $x^4-z^t=1$ задачу вирішив Сельберг (1932), а для рівняння $x^2-z^t=1$ — китайський математик Ко Чао (1960)Шаблон:Sfn.

Таким чином гіпотезу було доведено в кількох окремих випадках.

Фундаментальний прорив стався в середині XX-го сторіччя, коли Кассельс довів таку теоремуШаблон:Sfn: Шаблон:Теорема

Разом із деякими раннішими результатами теорема Кассельса вже дозволяла стверджувати, що якщо гіпотеза Каталана й не справджується, то лише для досить великих чисел (a, b > 10⁵)Шаблон:Sfn.

1976 року Шаблон:Нп застосував Шаблон:Нп в теорії трансцендентності для встановлення меж на a, b і використав існуючі результати, що обмежують x, y через a, b, щоб отримати ефективну верхню межу для x, y, a, b . Мішель Ланжевен обчислив значення $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ для межі. Це розв'язало гіпотезу Каталана для всіх випадків, крім деякої скінченної (втім, дуже великої) кількості. Проте, остаточні обчислення, необхідні для завершення доведення теореми, були занадто трудомісткими.

Гіпотезу Каталана довів Преда Міхалеску в квітні 2002 року. Доведення опубліковано 2004 року в Journal für die reine und angewandte Mathematik. Воно широко застосовує теорію кругових полів та Шаблон:Нп. Юрій Білу продемонстрував доведення на Шаблон:Нп. У 2005 році Міхалеску опублікував спрощене доведення.

Узагальнення

Узагальненням гіпотези Каталана є гіпотеза Піллаї: Шаблон:Теорема

Див. також

• Гіпотеза Ферма — Каталана

Література

• Шаблон:Публікація
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Публікація

Посилання

• Шаблон:MathWorld