Гільбертове оснащення

Гільбертовим оснащенням простору $H_0$ просторами $H_{-}$ і $H_{+}$ називається ланцюжок включень

$H_{-}\supseteq H_0\supseteq H_{+}$

побудований наступним чином.

Нехай $H_0$ — гільбертів простір зі скалярним добутком $(\cdot ,\cdot {)}_{H_0}$ і нормою $\Vert \cdot {\Vert }_{H_0}$ і в $H_0$ щільна лінійна множина $H_{+}$, яка є гільбертовим простором відносно скалярного добутку $(\cdot ,\cdot {)}_{H_{+}}$ і норми $\Vert \cdot {\Vert }_{H_{+}}$, причому

$\Vert u{\Vert }_{H_0}\le \Vert u{\Vert }_{H_{+}}(u\in H_{+}).$

Кожний елемент $f\in H_0$ породжує антилінійний неперервний функціонал $l_f$ на $H_{+}$ за формулою

$l_f(u)=(f,u{)}_{H_0}(u\in H_{+})$

Гільбертів простір $H_{-}$ одержимо поповненням простору $H_0$ за новою нормою $\Vert f{\Vert }_{H_{-}}:=\Vert l_f\Vert$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Давида Гільберта

Джерела

• Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М.