Група Баумслага — Солітера

Група Баумслага — Солітера — група з двома твірними $a$ і $b$ і одним співвідношенням

a b^{m} a^{- 1} = b^{n} .

Зазвичай, цю групу позначають $B S (m, n)$ .

Приклади і властивості

$B S (1, 1)$ це вільна абелева група з двома твірними.
$B S (1, - 1)$ фундаментальна група пляшки Кляйна.
$B S (1, n)$ при $n > 1$ ізоморфна підгрупі групи афінних перетворень дійсної прямої, породжена відображеннями $a : x \to n x$ і $b : x \to x + 1$ .
Група $B S (2, 3)$ (поряд з іншими групами $B S (m, n)$ , для яких множини простих дільників чисел m і n не збігаються) є найвідомішим прикладом негопфової групи^[1]. А саме, епіморфізм $φ : a \mapsto a, φ : b \mapsto b^{2}$ не є автоморфізмом $B S (2, 3)$ .
Група BS(n,m) допускає лінійне подання a↦(1101) і b↦(nm001) .
- Це подання не є ефективним, тобто різні елементи групи можуть відповідати одному лінійному оператору.
Група $B S (m, n)$ залишково скінченна тоді й лише тоді, коли $| m | = 1$ , $| n | = 1$ , або $| m | = | n |$ ^[2].

↑ D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group Шаблон:Webarchive», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups