Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Якщо знаменник прогресії дорівнює 1 (одиниці), то прогресія вважається стаціонарною. Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати 0 (нулю). Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

• послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….
• геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Значення n-ного члена

Позначимо перший член $a_1,$ а знаменник прогресії $r$. Тоді другий член $a_2=a_1\cdot r$, третій — $a_3=a_2\cdot r=a_1\cdot r^2$, четвертий — $a_4=a_3\cdot r=a_1\cdot r^3$, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

Сума

Знайдемо суму перших $n$ членів геометричної прогресії

$S_n=a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})$

Помножимо та поділимо праву частину на $(r-1)$ ($r$ не може бути 1), добуток $(1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})$ на $(r-1)$ дає $(r^n-1)$, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:

$S_n=a\sum _{k=0}^{n-1}{r}^k=a\frac{r^n-1}{r-1}$

Якщо $\left|r\right|<1$ і $n\to \mathrm{\infty }$ то $r^n\to 0$, тоді: $S_n\to \frac{a}{1-r}$

Практичне застосування

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Див. також

• Регресія (статистика)
• Арифметична прогресія
• Ефект снігової кулі

Посилання на сторонні джерела

• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода ; Вінниц. нац. техн. ун-. - Вінниця : ВНТУ, 2010 Шаблон:Webarchive

Джерела

• Шаблон:Корн.Корн.Справочник