Відстань Чебишова

Відстань Чебишова — метрика максимуму або $l_{\mathrm{\infty }}$-метрика на векторному просторі, яка визначає відстань між двома векторами як найбільшу різницю їхніх координат. Названа на честь російського математика Пафнутія Чебишова.

Визначення

Відстанню Чебишова між n-вимірними числовими векторами називається максимум модуля різниці компонент цих векторів. Відстань Чебишова задає метрику на ${ℝ}^n$. Ця відстань часто позначається через $l_{\mathrm{\infty }}$, оскільки є окремим випадком метрик $l_p$.

$l_{\mathrm{\infty }}(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\underset{i=1,\dots ,n}{\max }|x_i-y_i|$

Назви

Відстань Чебишова називають також метрикою Чебишова, рівномірною метрикою, sup-метрикою і бокс-метрикою; на ${\mathbb{Z}}^2$ вона називається метрикою решітки, метрикою шахової дошки, метрикою ходу короля і 8-метрикою.

Властивості

Куля в цій метриці має форму куба, ребра якого паралельні вісям координат. Серед метрик $l_p$ метрика Чебишова має кулю найбільшого об'єму при фіксованому радіусі. Одинична куля має об'єм $2^n$.

Практичне застосування

Відстань Чебишова використовується в задачах логістики складів, оскільки вона ефективно вимірює час, котрий мостовий кран витрачає на переміщення об'єкта із точки в точку. Це можливо, оскільки кран може рухатися вздовж осей $x$ та $y$ одночасно, або порізно з однаковою швидкістю вздовж кожної з них.

Також широко використовується в електронних автоматизованих системах технологічної підготовки виробництва (Шаблон:Lang-en), зокрема, в алгоритмах оптимізації необхідного часу роботи приладдя. Багато приладів, таких як графопобудовники, свердлильні верстати, фотографопобудовники та інші як правило керуються двома двигунами в напрямках $x$ та $y$, подібно до мостового крана, що дозволяє застосувати відстань Чебишова для оптимізації часу роботи.

У сфері машинного навчання ця метрика грає важливу роль у багатьох алгоритмах, де вимірювання відстані є необхідним для аналізу подібності між великими наборами даних чи визначення ступеня відмінності між користувачами в рекомендаційних системах (кластерний аналіз).

Див. також

• Манхеттенська метрика
• Евклідова метрика
• Евклідовий простір
• Французька залізнична метрика

Посилання

• В. А. Скворцов, Приклади метричних просторів Шаблон:Webarchive, Библіотека «Математическое просвещение» Шаблон:Webarchive, випуск 9, (2001).