Вторинне квантування ферміонів

Вторинне квантування ферміонів  — математичний метод опису системи частинок, що складається із ферміонів. В представленні чисел заповнення автоматично враховується властивість тотожності частинок та необхідна симетрія хвильової функції відносно перестановок частинок.

Як відомо, для системи ферміонів справедливий принцип Паулі, згідно з яким у кожному одночастинковому стані не може перебувати більш ніж один ферміон. Дослідження системи однакових ферміонів можна почати з найпростішого випадку системи, яка містить $N$ ферміонів малої енергії, що не взаємодіють між собою.

Припустимо, що стан руху окремого ферміона в деякому зовнішньому полі, яке породжується іншими частинками, (наприклад, атомними ядрами в атомах чи молекулах), визначається оператором Гамільтона $H(\xi )$, де $\xi$- сукупність просторовох та спінових змінних. Нехай ${ϵ}_s$ та ${\varphi }_s(\xi )-$ відповідно власні значення та власні функції оператора $H(\xi )$. Індекс $s$ характеризує всі квантові числа, які визначають одночастинкові стани. Повний гамільтоніан в координатному представленні буде:

$H({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_N)=\sum _{i=1}^{N}H({\xi }_i)$.

Хвильова функція в тому ж представленні є антисиметричною функцією $\psi ({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_N)$, яка залежить від $4N$ змінних, ${\xi }_i$- сукупність просторових та спінових змінних $i-$ ї частинки.

В представленні чисел заповнення стан системи визначається вказуванням числа частинок у кожному одночастинковому стані. Нехай оператор числа частинок в стані ${\hat{n}}_s={\alpha }_s^{+}{\alpha }_s$ має вигляд:

${\hat{n}}_s={\alpha }_s^{+}{\alpha }_s$.

Для того, щоб цей оператор описував стани системи ферміонів, він повинен згідно з принципом Паулі мати тільки два власні значення: 0 та 1. Тому в представленні чисел заповнення ермітовий оператор ${\hat{n}}_s$ зображається діагональною матрицею

${\hat{n}}_s={\alpha }_s^{+}{\alpha }_s=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Необхідно відзначити, що оператор числа частинок в системі бозонів визначався нескінченною матрицею, а дві власні функції оператора числа частинок, які належать відповідно до власних значень 0 та 1, мають вигляд:

$|0>=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0})$

$|1>=(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1})$

Можна припустити, що оператор ${\alpha }_s$ є оператором зменшення числа частинок в стані $s$ на одиницю, тоді як за визначенням:

${\alpha }_s|0>=0$

${\alpha }_s|1>=|0>$.

Таким чином, в представленні з діагональним оператором ${\hat{n}}_s$ оператор ${\alpha }_s$ визначається неермітовою матрицею:

${\alpha }_s=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$,

а ермітово спряжений оператор до ${\alpha }_s$:

${\alpha }_s^{+}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

має таку властивість, що:

${\alpha }_s^{+}|0>=|1>$

${\alpha }_s^{+}|1>=0$,

з чого випливає, що оператор ${\alpha }_s^{+}$ збільшує на одиницю число частинок в стані ${\alpha }_s$, якщо в цьому стані не було частинок, і перетворює в нуль функцію, яка відповідає стану $s$ з одною частинкою. Із цих визначень випливають перестановочні співвідношення для введених операторів, які ми будемо називати «фермі-операторами»:

$\{{\alpha }_s,{\alpha }_s\}=\{{\alpha }_s^{+},{\alpha }_s^{+}\}=0,\{{\alpha }_s,{\alpha }_s^{+}\}=1,$

де фігурні дужки використовуються для позначення антикомутатора двох операторів:

$\{\alpha ,\beta \}=\alpha \beta +\beta \alpha .$

Порядок розташування операторів в антикомутаторі не має значення, $\{\alpha ,\beta \}=\{\beta ,\alpha \}$, тому дія операторів ${\alpha }_s$ та ${\alpha }_s^{+}$ може бути оберненою.

Оператори ${\alpha }_s^{+}$ та ${\alpha }_s$ визначаються приведеними вище матрицями не повністю. Необхідно ще вказати зв'язок цих операторів з операторами ${\alpha }_{s1}^{+}$ та ${\alpha }_{s1}$ для інших станів. Можна вважати, за аналогією з випадком Бозе-частинок, що співвідношення типу ${\alpha }_s,{\alpha }_l=0$ виконуються для всіх операторів, крім операторів ${\alpha }_s^{+}$ та ${\alpha }_s$ (для кожного стану $s$), для якого ${\alpha }_s,{\alpha }_s^{+}=1$. Іншими словами, необхідно вимагати, щоб оператори ${\alpha }_{s1},{\alpha }_{s2},...$ задовольняли умови:

$\{{\alpha }_s,{\alpha }_l\}=\{{\alpha }_s^{+},{\alpha }_l^{+}\}=0,\{{\alpha }_s,{\alpha }_l^{+}\}={\delta }_{sl},$

де

${\delta }_{sl}=\{\begin{array}{cc},0& s\ne l\\ 1,& s=l\end{array}$-

символ Кронекера. Подібні співвідношення приводять до правильного опису систем ферміонів.

Історія

Вперше операторний метод розгляду квантових систем з великою кількістю однакових частинок був запропонований Діраком в 1927 році.

Широку популярність даний метод отримав після того, як Боголюбов в 1958 році використав його для презентації формальної моделі Бардіна-Купера-Шріффера для опису процесів надпровідності.

В 1989 році Якимаха використав цей метод для опису квантових явищ в МДН-транзисторах, які працюють в режимах сильної та надсильної інверсії.

Слід відзначити, що повний метод використання формалізму Дірака в квантовій механіці здійснив Вільям Луїзелл в 1973 році (за допомогою використання віртуальних LC — контурів). В рамках даного методу опису квантових явищ можна зрозуміти всі процеси, що протікають в мікроскопічних об'єктах природи. Слід також відзначити, що це перша книга з квантової механіки, написана в Міжнародній системі величин (ISQ) .

Можливе майбутнє

Операторний формалізм Дірака-...- Луїзелла претендує на альтернативний опис "Квантової електродинаміки" (кому подобається - "Квантової теорії поля", з елементарними частками включно). На сьогодні він широко використовується в квантовому комп'ютінгу (завдяки Деворету).

Див. також

• Вторинне квантування

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга