Вимірна функція

Шаблон:UniboxВимірні функції  — певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.

Визначення

Нехай $(X,ℱ)$ і $(Y,𝒢)$ дві множини з визначеними алгебрами підмножин. Тоді функція $f:X\to Y$ називається $ℱ/𝒢$-вимірною, або просто вимірною, якщо повний прообраз довільної множини із $𝒢$ належить $ℱ$, тобто

$\mathrm{\forall }B\in 𝒢,f^{-1}(B)\in ℱ,$

де $f^{-1}(B)$ повний прообраз множини $B$.

Замітка

• Якщо $X$ и $Y$ — топологічні простори, і алгебри $ℱ$ і $𝒢$ явно не вказані, то вважається, що це борелівські σ-алгебри відповідних просторів.

Дійснозначні вимірні функції

Нехай задана функція $f:(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ))$. Тоді справедливі такі визначення:

• Функція $f$ вимірна, якщо

$\mathrm{\forall }c\in ℝ,\{x\in X\mid f(x)\le c\}\in ℱ$.

• Функція $f$ вимірна, якщо

$\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$, таких що $a\le b$, маємо $\{x\in X\mid f(x)\in |a,b|\}\in ℱ$,

де $|a,b|$ позначає довільний інтервал, відкритий, напіввідкритий чи замкнутий.

• Якщо $f:(X,ℱ)\to ({ℝ}_{+}\cup +\mathrm{\infty },ℬ({ℝ}_{+}\cup +\mathrm{\infty }))$ є невід'ємною дійснозначною функцією то вона є вимірною тоді й лише тоді коли вона є поточковою границею деякої поточково неспадної послідовності $f_n$ невід'ємних простих вимірних функцій.

Пов'язані визначення

• Нехай $(X,ℱ)=(ℝ,ℬ(ℝ))$ і $(Y,𝒢)=(ℝ,ℬ(ℝ))$ — дві копії дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю. Тоді вимірна функція $f:(ℝ,ℬ(ℝ))\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ називається борелівською.
• Вимірна функція $f:(\mathrm{\Omega },ℱ)\to (Y,𝒢)$, де $\mathrm{\Omega }$ — множина елементарних подій, а $ℱ$ — σ-алгебра випадкових подій, називається випадковим елементом.

Приклади

• Нехай $f:ℝ\to ℝ$ — неперервна функція. Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій.
• Нехай $f:(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ)),$ і $f(x)={\mathrm{𝟏}}_A(x),x\in X$ — індикатор множини $A\in ̸ℱ.$ Тод функція $f$ не є вимірною.

Властивості вимірних функцій

• Сума і добуток вимірних функцій є вимірними функціями.
• Супремум зліченної множини дійснозначних вимірних функцій є вимірною функцією.
• Поточкова границя послідовності вимірних функцій є вимірною функцією.

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Колмогоров.Фомин