Виділення квадрату

Файл:Completing the square.ogv В елементарній алгебрі виділення квадрату — це методика перетворення квадратного тричлена.

$a{x}^2+bx+c$

до вигляду

$a(x-h{)}^2+k$

де h і k — це деякі значення.

Виділення квадрату використовується при

• розв'язуванні квадратних рівнянь,
• при виведенні формули розв'язків квадратного рівняння,
• побудові графіків квадратичних функцій,
• оцінці інтегралів, наприклад, гаусових інтегралів з лінійною функцією в експоненті,
• пошуку перетворення Лапласа.

В математиці виділення квадрату часто використовується в різних обчисленнях із застосуванням квадратних тричленів.

Огляд

Уявлення

Формула з елементарної алгебри для обчислення квадрата двочлена:

$(x+p{)}^2=x^2+2px+p^2.$

Наприклад:

$\begin{array}{cccc}(x+3{)}^2& =x^2+6x+9& & (p=3)\\ (x-5{)}^2& =x^2-10x+25& & (p=-5).\end{array}$

У будь-якому повному квадраті, коефіцієнт біля х у два рази перевищує число p, а вільний член дорівнює p².

Простий приклад

Розглянемо наступний квадратний поліном:

$x^2+10x+28.$

Він не є повним квадратом, оскільки 28 не квадрат числа 5:

$(x+5{)}^2=x^2+10x+25.$

Однак, можна цей тричлен представити у вигляді суми повного квадрату і числа:

$x^2+10x+28=(x+5{)}^2+3.$

Це і називається виділенням повного квадрату.

Основний опис

Розглянемо довільний квадратний тричлен з коефіцієнтом при старшому члені 1 (нормований тричлен):

$x^2+bx+c,$

а також квадрат двочлена

${(x+\frac{1}{2}b)}^2=x^2+bx+\frac{1}{4}{b}^2.$

Ці тричлени відрізняються тільки на сталу величину — в них різні вільні члени. Таким чином, ми можемо написати

$x^2+bx+c={(x+\frac{1}{2}b)}^2+k,$

де $k=c-\frac{b^2}{4}$. Така операція називається виділенням квадрату. Наприклад:

$\begin{array}{cc}{x}^2+6x+11& =(x+3{)}^2+2\\ x^2+14x+30& =(x+7{)}^2-19\\ x^2-2x+7& =(x-1{)}^2+6.\end{array}$

Узагальнення основного опису

Розглянемо квадратний тричлен вигляду

$a{x}^2+bx+c$

Винесемо коефіцієнт при старшому члені за дужки, отримаємо випадок, описаний вище.

Приклад:

$\begin{array}{cc}3x^2+12x+27& =3(x^2+4x+9)\\ & =3((x+2{)}^2+5)\\ & =3(x+2{)}^2+15\end{array}$

Це дозволяє нам представити довільний квадратний тричлен у формі

$a(x-h{)}^2+k.$

Формула

Скалярний вигляд

Для виділення повного квадрату можна використовувати формули. Для загального випадку:

$a{x}^2+bx+c=a(x-h{)}^2+k,\text{де}h=-\frac{b}{2a}\text{та}k=c-a{h}^2=c-\frac{b^2}{4a}.$

Зокрема, коли а = 1:

$x^2+bx+c=(x-h{)}^2+k,\text{де}h=-\frac{b}{2}\text{і}k=c-\frac{b^2}{4}.$

Матричний вигляд

Матричний вигляд дуже схожий:

$x^{\mathrm{T}}Ax+x^{\mathrm{T}}b+c=(x-h{)}^{\mathrm{T}}A(x-h)+k\text{де}h=-\frac{1}{2}{A}^{-1}b\text{і}k=c-\frac{1}{4}{b}^{\mathrm{T}}{A}^{-1}b$

де $A$ має бути симетричною.

Якщо $A$ не симетрична, формули $h$ і $k$ мають такий вигляд:

$h=-(A+A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}b\text{і}k=c-h^{\mathrm{T}}Ah=c-b^{\mathrm{T}}(A+A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}A(A+A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}b$.

Графічне представлення

Шаблон:Multiple imageВ аналітичній геометрії, графік будь-якої квадратичної функції є парабола в ху-площині. Враховуючи вигляд квадратного тричлена

$(x-h{)}^2+k\text{або}a(x-h{)}^2+k$

числа h та k можуть бути інтерпретовані як декартові координати вершини параболи. Тобто, h — це х-координата осі симетрії (наприклад, вісь симетрії має рівняння х = h), і k — це мінімальне значення (або максимальне значення, Якщо а < 0) квадратичної функції.

Один зі способів переконатися у цьому — зверніть увагу, що графік функції ƒ(х) = х² є парабола з вершиною в початку координат (0, 0). Таким чином, графік функції ƒ(x − h) = (x − h)² є парабола зміщена вправо на h з вершиною в (h, 0), як показано у верхній частині малюнка. На відміну від попереднього графіка функції, ƒ(х) + k = x² + k — це парабола зміщена вгору на k з вершиною в (0, k), як показано в центрі малюнка. Поєднання горизонтального і вертикального зміщень дає ƒ(x − h) + k = (x − h)² + k, при якому парабола зсувається вправо на h і вгору на k з вершиною в (h, k), як показано на нижньому малюнку.

Розв'язування квадратних рівнянь

Виділення квадрату може бути використане для розв'язання будь-якого квадратного рівняння. Наприклад:

$x^2+6x+5=0,$

Виділимо повний квадрат:

$(x+3{)}^2-4=0.$

Звідси маємо, що:

$(x+3{)}^2=4.$

Тому

$x+3=-2\text{або}x+3=2,$

і тому

$x=-5\text{або}x=-1.$

Це може бути застосовано до будь-якого квадратного рівняння. Коли коефіцієнт при х² відмінний від 1, першим кроком є поділ на рівняння на цей коефіцієнт.

Ірраціональні і комплексні корені

На відміну від методів, пов'язаних з розкладанням рівняння на множники, яке є надійним, тільки якщо корені раціональні, виділенням квадрату знайдемо корені квадратного рівняння навіть якщо ці корені є ірраціональними або комплексними. Наприклад, розглянемо рівняння

$x^2-10x+18=0.$

Виділення квадрата дає

$(x-5{)}^2-7=0,$

отже

$(x-5{)}^2=7.$

Потім

$x-5=-\sqrt{7}\text{або}x-5=\sqrt{7},$

Лаконічніше:

$x-5=\pm \sqrt{7}.$

Отже,

$x=5\pm \sqrt{7}.$

Рівнянь з комплексними коренями можуть бути розв'язані таким же чином. Наприклад:

$\begin{array}{c}{x}^2+4x+5=0\\ (x+2{)}^2+1=0\\ (x+2{)}^2=-1\\ x+2=\pm i\\ x=-2\pm i.\end{array}$

Загальний вигляд

Для незведених квадратних рівнянь першим кроком до їх розв'язання є розділити на коефіцієнт при х². Наприклад:

$\begin{array}{c}2x^2+7x+6=0\\ x^2+\frac{7}{2}x+3=0\\ {(x+\frac{7}{4})}^2-\frac{1}{16}=0\\ {(x+\frac{7}{4})}^2=\frac{1}{16}\\ x+\frac{7}{4}=\frac{1}{4}\text{or}x+\frac{7}{4}=-\frac{1}{4}\\ x=-\frac{3}{2}\text{or}x=-2.\end{array}$

Застосування

Інтегрування

Виділення квадрату може бути використане для обчислення інтегралів виду

$\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$

з використанням основних інтегралів

$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\text{і}\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C.$

Наприклад, розглянемо інтеграл

$\int \frac{dx}{x^2+6x+13}.$

Виділення квадрата в знаменнику дає:

$\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+4}=\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+2^2}.$

Це може бути обчислено з допомогою підстановки у = х + 3, яка дає $\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+4}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x+3}{2}\right)+C.$

Комплексні числа

Розглянемо вираз

$|z{|}^2-b^{*}z-b{z}^{*}+c,$

де z і b є комплексними числами, z^* і b^* є комплексно спряжені до z, та b, відповідно, а c — це дійсне число. Використовуючи властивість |у|² = уу^* , ми можемо переписати вираз як

$|z-b{|}^2-|b{|}^2+c,$

що має дійсне значення. Це відбувається тому, що

$\begin{array}{cc}|z-b{|}^2& =(z-b)(z-b{)}^{*}\\ & =(z-b)(z^{*}-b^{*})\\ & =z{z}^{*}-z{b}^{*}-b{z}^{*}+b{b}^{*}\\ & =|z{|}^2-z{b}^{*}-b{z}^{*}+|b{|}^2.\end{array}$

Розглянемо інший приклад, вираз

$a{x}^2+b{y}^2+c,$

де a, b, c, x і y — дійсні числа, причому а > 0 і b > 0, може бути виражена як квадрат абсолютного значення комплексного числа. Визначимо

$z=\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y.$

Тоді

$\begin{array}{cc}|z{|}^2& =z{z}^{*}\\ & =(\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y)(\sqrt{a}x-i\sqrt{b}y)\\ & =a{x}^2-i\sqrt{ab}xy+i\sqrt{ba}yx-i^{2}b{y}^2\\ & =a{x}^2+b{y}^2,\end{array}$

отже,

$a{x}^2+b{y}^2+c=|z{|}^2+c.$

Ідемпотентна матриця

Матриця М є ідемпотентною, якщо М ² = М. Ідемпотентні матриці узагальнюють ідемпотентні властивості 0 і 1. Виділення квадрату в рівнянні

$a^2+b^2=a,$

показує, що деякими ідемпотентними 2 × 2 матрицями параметризують коло в (А, B)-площині.

Матриця $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$ буде ідемпотентом за умови $a^2+b^2=a,$ що, при виділенні квадрату стає

$(a-\frac{1}{2}{)}^2+b^2=\frac{1}{4}.$

В (А, B)-площині — це рівняння кола з центром у точці (1/2, 0) і радіусом 1/2.

Геометрична інтерпретація

Розглянемо виділення квадрату для рівняння

$x^2+bx=a.$

Оскільки х² являє собою площу квадрата зі стороною довжини х і bx являє собою площу прямокутника зі сторонами b і x, процес виділення квадрата можна розглядати як візуальні маніпуляції прямокутників.

Прості спроби об'єднати квадрат х² і прямокутник bx у великий квадрат не дають результату. Доданок (b/2)² потрібно додати до кожної сторони рівняння — це саме та ділянка, якої не вистачає до повного квадрату, звідки походить термін «виділити квадрат».

Використання у техніці

Зазвичай повний квадрат складається з трьох складових, додамо v ² до

$u^2+2uv$

щоб отримати квадрат. Є також випадки, в яких можна додати середній член тричлена, або 2uv або −2uv, щоб

$u^2+v^2$

стало повним квадратом.

Приклад: сума числа і оберненого до нього числа

Написавши

$\begin{array}{cc}x+\frac{1}{x}& =(x-2+\frac{1}{x})+2\\ & ={(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})}^2+2\end{array}$

ми бачимо, що сума числа х і оберненого до нього числа завжди більше або дорівнює 2. Квадрат виразу завжди більше або дорівнює нулю, коли х дорівнює 1.

Приклад: розкладання многочлена 4-го степеня

Розглянемо проблему розкладання на множники многочлена

$x^4+324.$

Запишемо його у вигляді

$(x^2{)}^2+(18{)}^2,$

тому середній член 2(х²)(18) = 36х². Таким чином, ми отримуємо

$\begin{array}{cc}{x}^4+324& =(x^4+36x^2+324)-36x^2\\ & =(x^2+18{)}^2-(6x{)}^2=\text{різниця квадратів двох виразів}\\ & =(x^2+18+6x)(x^2+18-6x)\\ & =(x^2+6x+18)(x^2-6x+18)\end{array}$

Див. також

• Перетворення Чірнхауса

Джерела

• Алгебра 1, Гленко, Шаблон:ISBN, стор 539—544
• Алгебра 2, Саксон, Шаблон:ISBN, стор 214—214, 241—242, 256—257, 398—401
• Шаблон:Planetmath reference