Вектор-функція

Вектор-функція — функція, значеннями якої є вектори у векторному просторі $𝕍$ двох, трьох або більше вимірів. Аргументами функції можуть бути:

• одна скалярна змінна — тоді значення вектор-функції визначають у $𝕍$ деяку криву;
• $m$ скалярних змінних — тоді значення вектор-функції утворюють у $𝕍$, загалом, $m$-вимірну поверхню;
• векторна змінна — в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на $𝕍$.

Вектор-функція однією скалярною змінною

Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не становить труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної $𝐫(t)$ відображає певний інтервал дійсних чисел $t_1⩽t⩽t_2$ у множину просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).

Вибравши координатні орти $\widehat{𝐢},\widehat{𝐣},\widehat{𝐤}$, Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$:

$𝐫(t)=x(t)\widehat{𝐢}+y(t)\widehat{𝐣}+z(t)\widehat{𝐤}$

Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють у просторі деяку криву, для якої t є параметром.

Кажуть, що вектор-функція $𝐫(t)$ має границю ${𝐫}_{\mathrm{𝟎}}$ у точці $t=t_0$, якщо $\underset{t\to t_0}{\lim }|𝐫(t)-{𝐫}_{\mathrm{𝟎}}|=0$ (тут і далі $|𝐯|$ позначають модуль вектора $𝐯$). Границя вектор-функції має звичайні властивості:

• Границя суми вектор-функцій дорівнює сумі границь доданків (в припущенні, що вони існують).
• Границя скалярного добутку вектор-функцій дорівнює скалярному добутку границь множників.
• Границя векторного добутку вектор-функцій дорівнює векторному добутку границь множників.

Неперервність вектор-функції визначається традиційно.

Похідна вектор-функції за параметром

Визначимо похідну вектор-функції $𝐫(t)$ за параметром:

$\frac{d}{dt}𝐫(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{𝐫(t+h)-𝐫(t)}{h}$.

Якщо похідна в точці $t$ існує, вектор-функція називається диференційовною в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть $x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)$.

Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):

• $\frac{d}{dt}({𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)+{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t))=\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}+\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}$ — похідна суми є сумою похідних
• $\frac{d}{dt}(f(t)𝐫(t))=\frac{df(t)}{dt}𝐫(t)+f(t)\frac{d𝐫(t)}{dt}$ — тут f (t) — диференційовна скалярна функція.
• $\frac{d}{dt}({𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t){𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t))=\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)+{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}$ — диференціювання скалярного добутку.
• $\frac{d}{dt}[{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t){𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)]=[\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)}{dt}{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)]+[{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(t)\frac{d{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(t)}{dt}]$ — диференціювання векторного добутку.
• $\frac{d}{dt}(𝐚(t),𝐛(t),𝐜(t))=(\frac{d𝐚(t)}{dt},𝐛(t),𝐜(t))+(𝐚(t),\frac{d𝐛(t)}{dt},𝐜(t))+(𝐚(t),𝐛(t),\frac{d𝐜(t)}{dt})$ — диференціювання мішаного добутку.

Про застосування вектор-функцій однієї скалярної змінної в геометрії див. Диференціальна геометрія кривих.

Вектор-функція декількох скалярних змінних

Для наочності обмежимося випадком двох змінних у тривимірному просторі. Значення вектор-функції $𝐫(u,v)$ (їх годограф) утворюють, загалом, двовимірну поверхню, на якій аргументи $u,v$ можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.

У координатах рівняння $𝐫=𝐫(u,v)$ має вид:

$x=x(u,v);y=y(u,v);z=z(u,v)$

Аналогічно випадку однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві: $\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}$. Ділянка поверхні буде невиродженою (тобто в нашому випадку — двовимірною), якщо на ньому $[\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}]$ не перетворюється тотожно на нуль.

Координатна сітка на сфері

Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:

$u=u(t);v=v(t)$ ,

де $t$ — параметр кривої. Залежності $u(t),v(t)$ передбачаються диференційовними, причому в області, що розглядається, їх похідні не повинні одночасно перетворюватися на нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:

$u=t;v=const$ — перша координатна лінія.

$u=const;v=t$ — друга координатна лінія.

Якщо на поверхні немає особливих точок ($[\frac{\partial 𝐫}{\partial u},\frac{\partial 𝐫}{\partial v}]$ ніде не перетворюється на нуль), то через кожну точку поверхні проходять рівно дві координатні лінії.

Докладніше про геометричні застосування вектор-функцій декількох скалярних змінних див. Теорія поверхонь.

Література

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Шаблон:Webarchive 9-е изд. Шаблон:М.: Наука, 1965.