Афінна зв'язність

Аф́інна зв'́язність — лінійна зв'язність на дотичному розшаруванні многовиду. Координатними виразами афінної зв'язності є символи Крістофеля.

Означення

Нехай M є гладким многовидом і C^∞(M,TM) позначає простір векторних полів на M. Тоді афінна зв'язність на M це білінійне відображення

$\begin{array}{ccc}{C}^{\mathrm{\infty }}(M,TM)\times C^{\mathrm{\infty }}(M,TM)& \to & C^{\mathrm{\infty }}(M,TM)\\ (X,Y)& \mapsto & {\mathrm{\nabla }}_{X}Y,\end{array}$

таке, що для будь-якої гладкої функції f ∈ C^∞(M,R) і будь-яких векторних полів X, Y на M:

1. ${\mathrm{\nabla }}_{fX}Y=f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y$, тобто, $\mathrm{\nabla }$ лінійно за першим аргументом;
2. ${\mathrm{\nabla }}_X(fY)=\mathrm{d}f(X)Y+f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y$, тобто $\mathrm{\nabla }$ задовольняє правилу Лейбніца за другою змінною.

Пов'язані означення

• Крученням афінної зв'язності називається вираз

  $U(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y]$

тут $[*,*]$ — дужки Лі

• Афінна зв'язність з нульовим крученням на рімановому многовиді, відносно якої метричний тензор коваріантного сталий, називається зв'язністю Леві-Чивіти.

• Афіна зв'язність, для якої виконується лише умова рімановості, називається рімановою зв'язністю.

Література

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Шаблон:Книга

Див. також

• Символи Крістофеля.