Антисиметричний тензор

Тензор називається антисиметричним за двома індексами i та j, якщо він змінює знак при перестановці цих індексів:

T_{i j k \dots} = - T_{j i k \dots}

Якщо тензор змінює знак при перестановці будь-якої пари індексів то такий тензор називається абсолютно антисиметричним тензором.

Для будь-якого тензора U, з компонентами $U_{i j k \dots}$ , можна побудувати симетричний і антисиметричний тензор за правилом:

$U_{(i j) k \dots} = (1 / 2) (U_{i j k \dots} + U_{j i k \dots})$ (симетрична частина),

$U_{[i j] k \dots} = (1 / 2) (U_{i j k \dots} - U_{j i k \dots})$ (антисиметрична частина),

аналогічно для інших індексів.

Під терміном «частина» йдеться про те, що $U_{i j k \dots} = U_{(i j) k \dots} + U_{[i j] k \dots}$

Властивості

Згортка тензора A, що є антисиметричним за індексами i і j з тензором B, що є симетричним за індексами i та j, рівна нулю. Доведення:

$A_{(i j) k \dots} B_{[i j] k \dots} = A_{(j i) k \dots} B_{[j i] k \dots} = - A_{(i j) k \dots} B_{[i j] k \dots} = 0 .$

Важливий антисиметричний тензор у фізиці — тензор електромагнітного поля F.