Адаптований процес

У теорії випадкових процесів адаптований процес — це процес який не може передбачати майбутнє і визначений своєю минулою інформацією. Грубо кажучи X адаптований, якщо для будь-якої реалізації і довільного n, значення X_n відоме в час n. Поняття адаптованого процесу дуже важливе в теорії випадкових процесів, зокрема для визначення інтеграла Іто. Так інтеграл Іто визначений тільки для тих процесів інтеграндів які є адаптованими

Означення

Нехай

• $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — імовірнісний простір;
• $I$ множина індексів з заданим на ній відношенням порядку $\le$ (часто, $I$ це одна з моножин $N,N_0,[0,T]$ чи $[0,+\mathrm{\infty })$);
• $F_{\bullet }=({ℱ}_i{)}_{i\in I}$ — фільтрація задана на сигма-алгебрі $ℱ$;
• $(S,\mathrm{\Sigma })$ — вимірний простір, множина станів;
• $X:I\times \mathrm{\Omega }\to S$ — стохастичний процес.

Тоді процес $X$ називається адаптованим до (по відношенню до) фільтрації $({ℱ}_i{)}_{i\in I}$, якщо випадкова величина $X_i:\mathrm{\Omega }\to S$ є $(F_i,\mathrm{\Sigma })$ - вимірна функція для всіх $i\in I$.

Див. також

• Фільтрація сигма-алгебр