Інцидентність (геометрія)

Відношення інцидентності — це бінарне відношення між двома різними типами об'єктів. Воно включає поняття, які можна виразити такими фразами як «точка лежить на прямій» або «пряма належить площині». Найістотніше відношення інцидентності — між точкою Шаблон:Math і прямою Шаблон:Math яке записується як Шаблон:Math. Якщо Шаблон:Math пара Шаблон:Math називається прапором. У розмовній мові існує багато виразів, що описують відношення інцидентності (наприклад, пряма проходить через точку, точка лежить на площині тощо), проте термін «інцидентна» кращий, оскільки не передбачає додаткових супутніх понять і може бути використаний симетрично, відбиваючи властивість симетричності відношення. Твердження, такі як «пряма Шаблон:Math перетинає пряму Шаблон:Math» також є твердженнями про відношення інцидентності, але в цьому випадку простіше сказати: «існує точка Шаблон:Math, інцидентна обом прямим Шаблон:Math і Шаблон:Math». Коли один тип об'єктів можна розглядати як множину об'єктів іншого типу (а саме, площина є множиною точок), відношення інцидентності можна розглядати як включення.

Твердження вигляду «будь-які дві прямі на площині перетинаються» називаються твердженнями інцидентності. Такі твердження істинні в проєктивних площинах, але хибні на евклідових, де прямі можуть бути паралельними. Історично, проєктивну геометрію запропоновано для того, щоб твердження інцидентності було істинним без винятків. З точки зору синтетичної геометрії проєктивну геометрію слід створювати, використовуючи такі твердження як аксіоми. Найістотніший такий підхід для проєктивних площин, зважаючи на істинність теореми Дезарга для вищих розмірностей.

Аналітичний підхід, навпаки, визначає проєктивний простір на основі лінійної алгебри з використанням однорідної системи координат. Відношення інцидентності виводиться з такого базового результату для векторних просторів: якщо дано підпростори Шаблон:Math і Шаблон:Math векторного простору Шаблон:Math (скінченної розмірності), розмірність їх перетину дорівнює Шаблон:Math Якщо взяти до уваги, що геометрична розмірність проєктивного простору Шаблон:Math, асоційованого з Шаблон:Math, дорівнює Шаблон:Math і що геометрична розмірність будь-якого підпростору додатна, базове твердження інцидентності в цих умовах набуде вигляду: лінійні підпростори Шаблон:Math і Шаблон:Math проєктивного простору Шаблон:Math перетинаються за умови, що Шаблон:Math.

Подальші розділи стосуються проєктивних площин, визначених над полями. Такі площини часто позначають як Шаблон:Math або Шаблон:Math, де Шаблон:Math — поле. Однак ці міркування можна природним чином поширити на простори вищих розмірностей, а поле можна замінити тілом з урахуванням, що в цьому випадку множення не буде комутативним.

Шаблон:Math

Нехай Шаблон:Math — тривимірний векторний простір, визначений над полем Шаблон:Math. Проєктивна площина Шаблон:Math складається з одновимірних векторних підпросторів простору Шаблон:Math які називають точками, і двовимірних векторних підпросторів Шаблон:Math які називають прямими. У визначенні передбачається, що всі розглянуті підпростори містять одну виділену точку. Інцидентність точки і прямої визначається належністю одновимірного підпростору двовимірному.

Якщо зафіксувати базис Шаблон:Math, то ми можемо описати вектори як координатні трійки (відносно базису). Одновимірний векторний підпростір складається з ненульового вектора і всіх векторів, отриманих із нього множенням на (ненульовий) скаляр. Всі такі вектори, записані у вигляді координатних трійок, відповідають координатам даної точки в однорідній системі координат. Відносно зафіксованого базису простір рішень лінійного рівняння Шаблон:Math є двовимірним підпростором простору Шаблон:Math, а тому є прямою в Шаблон:Math. Цю пряму можна позначити координатами прямої Шаблон:Math які також є однорідними координатами, оскільки множення на ненульовий скаляр дає ту саму пряму. Інші позначення також широко використовуються. Координати точки можна записати як вектор-стовпець Шаблон:Math^T, з двокрапкою Шаблон:Math або з індексом Шаблон:Math. Відповідно, координати прямої можна записати як вектор-рядок Шаблон:Math, з двокрапкою Шаблон:Math або з індексом Шаблон:Math. Можливі й інші варіанти позначень.

Алгебричний вираз інцидентності

Якщо дано точку Шаблон:Math і пряму Шаблон:Math записані в термінах координат точки і прямої, точка інцидентна прямій (часто записується як Шаблон:Math тоді і тільки тоді, коли

Шаблон:Math.

В інших позначення це можна виразити як:

$ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c{)}_L\cdot (x,y,z{)}_P=$

$=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=0.$

Незалежно від позначень, коли однорідні координати точки і прямої розглядаються як дві впорядковані трійки, інцидентність прямої і точки виражається як рівність їх скалярного добутку нулю.

Інцидентність прямої парі різних точок

Нехай дано пару різних точок Шаблон:Math і Шаблон:Math з однорідними координатами Шаблон:Math і Шаблон:Math відповідно. Ці точки визначають єдину пряму Шаблон:Math з рівнянням вигляду $ax+by+cz=0$, яка має задовольняти рівнянням:

$a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1=0$

$a{x}_2+b{y}_2+c{z}_2=0$.

У матричному вигляді цю систему можна переписати як

$\left(\begin{array}{ccc}x& y& z\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Ця система має нетривіальний розв'язок тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю

$\left|\begin{array}{ccc}x& y& z\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=0.$

Розкриття цього рівняння для визначника дає однорідні лінійні рівняння, які мають бути рівнянням прямої Шаблон:Math. Таким чином, з точністю до ненульового сталого множника маємо $l=[a,b,c]$, де

$a=y_1{z}_2-y_2{z}_1$

$b=x_2{z}_1-x_1{z}_2$

$c=x_1{y}_2-x_2{y}_1$.

У термінах змішаного добутку векторів рівняння для прямої можна переписати як

$P\cdot P_1\times P_2=0$,

де $P=(x,y,z)$ — точка.

Колінеарність

Точки, інцидентні одній прямій, називають колінеарними. Множина всіх точок, інцидентних одній прямій, називається проєктивним відрізком.

Якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math, то ці точки колінеарні тоді і тільки тоді коли

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0,$

тобто тоді і тільки тоді, коли визначник однорідних координат дорівнює нулю.

Перетин пар прямих

Нехай дано пару різних прямих $l_1=[a_1,b_1,c_1]$ і $l_2=[a_2,b_2,c_2]$. Тоді перетином прямих $l_1$ і $l_2$ буде точка $P=(x_0,y_0,z_0)$, Яка є одночасним розв'язком (з точністю до сталого множника) системи лінійних рівнянь

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0$ і

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0$.

Розв'язок цих рівнянь дає

$x_0=b_1{c}_2-b_2{c}_1$,

$y_0=a_2{c}_1-a_1{c}_2$ і

$z_0=a_1{b}_2-a_2{b}_1$.

Альтернативно, розглянемо іншу пряму $l=[a,b,c]$, що проходить через точку Шаблон:Math тобто однорідні координати точки Шаблон:Math задовольняють рівнянню

$ax+by+cz=0$.

Комбінуючи це рівняння з рівняннями, що визначають точку Шаблон:Math ми можемо бачити нетривіальний розв'язок матричного рівняння

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Таке рішення можливо, лише коли

$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right|=0.$

Коефіцієнти Шаблон:Math і Шаблон:Math в рівнянні дають однорідні координати точки Шаблон:Math.

Рівняння загального вигляду для прямої, що проходить через точку Шаблон:Math в позначеннях змішаного добутку має вигляд

$l\cdot l_1\times l_2=0$.

Перетин

Множину всіх прямих на площині, інцидентних одній і тій самій точці, називають пучком прямих, центрованим у цій точці. Обчислення перетину двох прямих показує, що весь пучок визначається двома прямими, що перетинаються в даній точці. Звідси негайно випливає, що алгебричною умовою перетину трьох прямих $[a_1,b_1,c_1],[a_2,b_2,c_2],[a_3,b_3,c_3]$ в одній точці є рівність нулю визначника

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|=0.$

Див. також

• Теорема Менелая
• Теорема Семереді — Троттера
• Теорема Чеви
• Конциклічні точки
• Матриця інцидентності
• Шаблон:Не перекладено
• Структура інцидентності
• Геометрія інцидентності
• Граф Леві
• Аксіоматика Гільберта

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга