Інволюція (математика)

Інволюційна функція $f:X\to X$ застосована двічі повертає нас в початкову точку.

Інволюція (інволюційна функція) — в математиці, це функція, що є оберненою сама до себе.

Формально, це бієктивне відображення $f:X\mapsto X,$ що має властивість

$f(f(x))=x,\mathrm{\forall }x\in X.$

Властивості

• $\mathrm{\forall }x:f^{-1}(x)=f(x).$
• $\mathrm{\forall }x,\mathrm{\exists }y:f(x)=y,f(y)=x.$

Перестановки

Перестановка $\tau$ є інволюцією, якщо $\tau \circ \tau =id$. Кожна інволюція є добутком транспозицій. Наприклад: $\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 5& 7& 4& 3& 1& 8& 2& 6\end{array}\right)=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)$

Інволюція в Евклідовій геометрії

• Інволюціями є всі симетрії (центральна, осьова) а також інверсія відносно кола.

Інволюція в лінійній алгебрі

В лінійній алгебрі інволюція — це лінійний оператор $T$, що має властивість $T^2=I.$

Інволюція пов'язана з ідемпотентними операціями:

• Якщо $a$ — ідемпотент, то $\pm (1-2a)$ є інволюціями.

• Якщо $b$ — інволюція, тоді $\frac{1-b}{2}$ та $\frac{1+b}{2}$ є ортогональними ідемпотентами.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць