Z-розподіл Фішера

Z-розподіл Фішера (Шаблон:Lang-en) — статистичний розподіл половини логарифма від F розподіленої випадкової величини:

$z=\frac{1}{2}\log F$

Вперше його було описано Рональдом Фішером у статті, виголошеній на Міжнародному математичному конгресі 1924 року в Торонто. Сьогодні натомість зазвичай працюють з F-розподілом.

Рональд Фішер

Функції густини ймовірності та розподілу можна вивести за допомогою F- розподілу в точці $x^{\prime }=e^{2x}$. Однак середнє значення та дисперсія не є такою ж трансформацією.

Функція щільності записується

$f(x;d_1,d_2)=\frac{2d_1^{d_1/2}{d}_2^{d_2/2}}{B(d_1/2,d_2/2)}\frac{e^{d_{1}x}}{{(d_1{e}^{2x}+d_2)}^{(d_1+d_2)/2}},$ де В — бета-функція.

Коли кількість ступенів свободи зростає ($d_1,d_2\to \mathrm{\infty }$) розподіл прямує до нормального із середнім значенням

$\overline{x}=\frac{1}{2}(\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_1})$

і дисперсією

${\sigma }_x^2=\frac{1}{2}(\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}).$

Пов'язаний розподіл

• Якщо $X\sim \mathrm{FisherZ}(n,m)$ тоді $e^{2X}\sim \mathrm{F}(n,m)$ (F -розподіл)
• Якщо $X\sim \mathrm{F}(n,m)$ тоді $\frac{\log X}{2}\sim \mathrm{FisherZ}(n,m)$

Ланки

• Запис у MathWorld Шаблон:Webarchive