T-функція Оуена

В математиці, T-функція Оуена $T(h,a)$, названа на честь статистика Дональда Брюса Оуена, визначається формулою

$T(h,a)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{e^{-\frac{1}{2}{h}^2(1+x^2)}}{1+x^2}dx(-\mathrm{\infty }<h,a<+\mathrm{\infty }).$

Вперше функція була представлена Оуеном в 1956 році.

Застосування

Функція $T(h,a)$ дає ймовірність події ($X>h$ та $0<Y<aX$), де X і Y є незалежними стандартними нормальними випадковими величинами.

Цю функцію можна використовувати для обчислення двовимірних ймовірностей нормального розподілу, і далі - для обчислення багатовимірних ймовірностей нормального розподілу. Вона також часто зустрічається в різних інтегралах, в яких використовуються функції Гауса.

Доступні комп’ютерні алгоритми для точного розрахунку цієї функції; квадратура застосовується з 1970-х років.

Властивості

$T(h,0)=0$

$T(0,a)=\frac{1}{2\pi }\arctan (a)$

$T(-h,a)=T(h,a)$

$T(h,-a)=-T(h,a)$

$T(h,a)+T(ah,\frac{1}{a})=\frac{1}{2}(\mathrm{\Phi }(h)+\mathrm{\Phi }(ah))-\mathrm{\Phi }(h)\mathrm{\Phi }(ah)\text{if}a\ge 0$

$T(h,a)+T(ah,\frac{1}{a})=\frac{1}{2}(\mathrm{\Phi }(h)+\mathrm{\Phi }(ah))-\mathrm{\Phi }(h)\mathrm{\Phi }(ah)-\frac{1}{2}\text{if}a<0$

$T(h,1)=\frac{1}{2}\mathrm{\Phi }(h)(1-\mathrm{\Phi }(h))$

$\int T(0,x)\mathrm{d}x=xT(0,x)-\frac{1}{4\pi }\ln (1+x^2)+C$

Тут Φ (x) - стандартна нормальна кумулятивна функція розподілу

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\exp (-t^2/2)\mathrm{d}t$

Більше властивостей можна знайти в літературі.

Список літератури

• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en

Програмне забезпечення

• Owen's T function Шаблон:Webarchive (user web site) - offers C++, FORTRAN77, FORTRAN90, and MATLAB libraries released under the LGPL license LGPL
• Owen's T-function is implemented in Mathematica since version 8, as OwenT Шаблон:Webarchive.

Зовнішні посилання

• Why You Should Care about the Obscure Шаблон:Webarchive (Wolfram blog post) Шаблон:Ref-en