Sub-гауссівский розподіл

У теорії ймовірностей, sub-гауссівский розподіл є розподілом ймовірностей з сильним властивістю хвоста розпаду. Неформально, хвости sub-гауссівського розподілу переважають (тобто розпаду, принаймні так само швидко, як) хвостів гаусом.

Формально, розподіл ймовірностей випадкової величини X називається sub-гауссівским, якщо існують позитивні константи C, v, що для будь-якого t> 0,

$\mathrm{P}(|X|>t)\le C{e}^{-v{t}^2}.$

Sub-гауссівскі випадкові величини з наступною формою норми простору Орлича:

$\Vert X{\Vert }_{{\psi }_2}=\inf \{s>0\mid \mathrm{E}{e}^{(X/s{)}^2}-1\le 1\}.$

Еквівалентні властивоті

Наступні властивості еквівалентні:

• Розподіл X є Sub-гауссівским.
• ${\psi }_2\text{-condition:}\mathrm{\exists }a>0\mathrm{E}{e}^{a{X}^2}<+\mathrm{\infty }.\mathrm{\exists }a>0\mathrm{E}{e}^{a{X}^2}<+\mathrm{\infty }.$
• Лаплас умови перетворення:$\mathrm{\exists }B,b>0\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ\mathrm{E}{e}^{\lambda X}\le B{e}^{{\lambda }^{2}b}.$
• Момент умови:$\mathrm{\exists }K>0\mathrm{\forall }p\ge 1{(\mathrm{E}|X{|}^p)}^{1/p}\le K\sqrt{p}.\mathrm{\exists }K>0\mathrm{\forall }p\ge 1{(\mathrm{E}|X{|}^p)}^{1/p}\le K\sqrt{p}.$

Джерела

• Kahane, J.P. (1960). «Propriétés locales des fonctions à séries de Fourier aléatoires». Stud. Math. 19. pp. 1–25.
• Buldygin, V.V.; Kozachenko, Yu.V. (1980). «Sub-Gaussian random variables». Ukrainian Math. J. 32. pp. 483—489.
• Rudelson, Mark; Vershynin, Roman (2010). «Non-asymptotic theory of random matrices: extreme singular values».
• Rivasplata, O. (2012). «Subgaussian random variables: An expository note». Unpublished.
• http://prima.lnu.edu.ua/faculty/mechmat/Departments/mathstat/DVVS/2015-16/magistry/imitaciyne-modelyuvannia-system-masovoho-obsluhovuvannia.pdf Імітаційне Шаблон:Webarchive моделювання систем масового обслуговування.