6j-символи

6j-символи Вігнера були введені в обіг Євгеном Полем Вігнером у 1940 й опубліковані у 1965. Вони співвідносяться з W-коефіцієнтами Рака таким чином

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{4} + j_{5}} W (j_{1} j_{2} j_{5} j_{4}; j_{3} j_{6}) .

й мають вищий ступінь симетрії, ніж W-коефіцієнти Рака.

Властивості симетрії

6j-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо взаємної перестановки будь-яких двох своїх стопчиків:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{2} & j_{1} & j_{3} \\ j_{5} & j_{4} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{3} & j_{2} \\ j_{4} & j_{6} & j_{5} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{3} & j_{2} & j_{1} \\ j_{6} & j_{5} & j_{4} \end{matrix}} .

6j-символ є також інваріантним щодо взаємної перестановки верхнього та нижнього аргументів у будь-якій парі стовпчиків:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{5} & j_{3} \\ j_{1} & j_{2} & j_{6} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{1} & j_{5} & j_{6} \\ j_{4} & j_{2} & j_{3} \end{matrix}} = {\begin{matrix} j_{4} & j_{2} & j_{6} \\ j_{1} & j_{5} & j_{3} \end{matrix}} .

6j-символ

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}}

дорівнює нулю, за виключенням випадків коли $j_{1}$ , $j_{2}$ , та $j_{3}$ задовільняють «правило трикутника», тобто

j_{1} = | j_{2} - j_{3} |, \dots, j_{2} + j_{3} .

Приймаючи до уваги, що 6j-символ не змінює свого значення при взаємній перестановці верхнього та нижнього аргументів у будь-якій парі стовпчиків, «правило трикутника» повинно справджуватися також і для $(j_{1}, j_{5}, j_{6})$ , $(j_{4}, j_{2}, j_{6})$ , та $(j_{4}, j_{5}, j_{3})$ .

Окремі випадки

Коли аргумент $j_{6} = 0$ , значення 6j-символу можна обчислити за наступною формулою:

{\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & 0 \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{2}, j_{4}} δ_{j_{1}, j_{5}}}{\sqrt{(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1)}} (- 1)^{j_{1} + j_{2} + j_{3}} Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3}) .

Функція $Δ (j_{1}, j_{2}, j_{3})$ дорівнює 1 коли $(j_{1}, j_{2}, j_{3})$ задовольняють «правило трикутника», або нуль в інших випадках. Використовуючи властивості симетрії, можна знайти вираз для 6j-символу, коли будь-який інший аргумент $j_{n}$ дорівнює нулю.

Відношення ортогональності

6j-символи задовольняють такі відношення ортогональності

\sum_{j_{3}} (2 j_{3} + 1) {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & j_{6} \end{matrix}} {\begin{matrix} j_{1} & j_{2} & j_{3} \\ j_{4} & j_{5} & {j_{6}}^{'} \end{matrix}} = \frac{δ_{j_{6}^{} {j_{6}}^{'}}}{2 j_{6} + 1} Δ (j_{1}, j_{5}, j_{6}) Δ (j_{4}, j_{2}, j_{6}) .

де $δ_{j_{6}^{} {j_{6}}^{'}}$ є символом Кронекера, а функції $Δ (j_{1}, j_{5}, j_{6}), Δ (j_{4}, j_{2}, j_{6})$ описані у розділі про окремі випадки.

Див. також

Література

Посилання

Калькулятор коефіцієнтів Вінера, створений Антоні Стоуном Шаблон:Webarchive (дає точну відповідь)
Вебкалькулятор для коефіцієнтів Клебш-Ґордана, 3j- та 6j-символів (чисельно)
Калькулятор для 369j-символів, розроблений у Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science Шаблон:Webarchive (чисельно)

6j-символи

Зміст

Властивості симетрії

Окремі випадки

Відношення ортогональності

Див. також

Література

Посилання

Навігаційне меню

6j-символи

Властивості симетрії

Окремі випадки

Відношення ортогональності

Див. також

Література

Посилання

Навігаційне меню

Пошук