Шаблон:Доведення/Теорема Кантора — Гейне

Скористаємося доведенням від супротивного. Нехай $f(x)$ — функція, що відповідає умовам теореми (на компакті $A$), але не рівномірно неперервна на ньому. Тоді існує таке $\epsilon$, що для всіх $\delta >0$ існують такі $x$ та $y$, відстань між якими менше $\delta$, але відстань між їхніми образами не менше $\epsilon$:

$\mathrm{\exists }ϵ>0:\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }{x}_{\delta },y_{\delta }\in A:d(x,y)<\delta ,$ але $d(f(x),f(y))⩾\epsilon .$

Візьмемо послідовність $\{{\delta }_k\}$, що сходяться до 0, наприклад, $\left\{\frac{1}{k}\right\}$. Побудуємо послідовності $x_k$ і $y_k$ так, щоб

$d(x_k,y_k)<\frac{1}{k}$, тоді $d(f(x_k),f(y_k))>\epsilon$

$A$ — компакт, тому можна виділити збіжні послідовності:

$x_{k_j}\to \overline{x}\in A,y_{k_j}\to \overline{y}\in A.$

Але так як відстань між ними прагне до нуля, по лемі про вкладені відрізки вони прагнуть до однієї точки: $\overline{x}=\overline{y}=\zeta$. І, так як $f$ неперервна $f(x_{k_j}\to \zeta ),f(y_{k_j}\to \zeta )\Rightarrow d(f(x_{k_j}),f(y_{k_j}))\to 0$, що суперечить припущенню, що $d(f(x_k),f(y_k))⩾\epsilon$. Тому, функція, неперервна на компакті, дійсно рівномірно неперервна на ньому.