Функція Тер-Антоняна

Приклад функції формування «коліна».

Функція Тер-Антоняна параметризує енергетичні спектри первинних космічних променів в області «коліна» ($10^{15}-10^{17}$ еВ) неперервно диференційованою функцією енергії $E$ з урахуванням швидкості зміни спектрального нахилу. Функція виражається формулою:Шаблон:NumBlkде $\mathrm{\Phi }$ — коефіцієнт масштабу, ${\gamma }_1$ і ${\gamma }_2$ — нахили асимптот функції (або «спектральні нахили») у логарифмічному масштабі при $E\ll E_k$ і $E\gg E_k$ відповідно для даної енергії $E_k$ (так звана енергія «коліна»). Швидкість зміни спектральних нахилів задається у функції (Шаблон:EquationNote) параметром «гостроти коліна», $ϵ>0$. Функція (Шаблон:EquationNote) була запропонована в 1998 році на семінарі ANI'98 Самвелом Тер-Антоняном як для інтерполяції енергетичних спектрів первинних частинок космічних променів в діапазоні енергій 1—100 ПеВ, так і для пошуку параметризованих розв'язків оберненої задачі для реконструкції енергетичних спектрів первинних космічних променів. Функція (Шаблон:EquationNote) також використовується для інтерполяції спостережуваних спектрів великих повітряних злив в області «коліна».

Функцію (Шаблон:EquationNote) можна переписати так:

$\frac{dF}{dE}=\mathrm{\Phi }{E}^{-{\gamma }_1}Y(E,ϵ,\mathrm{\Delta }\gamma ),$

де $\mathrm{\Delta }\gamma ={\gamma }_2-{\gamma }_1$, а

$Y(E,ϵ,\mathrm{\Delta }\gamma )\equiv {(1+{\left(\frac{E}{E_k}\right)}^{ϵ})}^{-\frac{\mathrm{\Delta }\gamma }{ϵ}}$

є функцією форми «коліна», що описує зміну спектрального нахилу. Приклади $Y(E,ϵ,\mathrm{\Delta }\gamma =0.5)$ для $ϵ\equiv 0.5,1,2,\cdots 500$ представлені на рисунку.

Швидкість зміни спектрального нахилу від $-{\gamma }_1$ до $-{\gamma }_2$ щодо енергії ($E$) виводиться з (Шаблон:EquationNote) диференціюванням:

$\frac{df(E)}{dx}=-{\gamma }_1-\frac{\mathrm{\Delta }\gamma }{1+(E_k/E{)}^{ϵ}}$,

де

$f=\ln \left(\frac{dF}{dE}\right)$,

$x=\ln (\frac{E}{E_k})$,

і

${\left(\frac{df}{dx}\right)}_{E=E_k}=-\frac{{\gamma }_1+{\gamma }_2}{2}$

є спектральним нахилом при енергії «коліна», незалежним від гостроти.

Функція (Шаблон:EquationNote) збігається зі спектрами Б. Пітерса для $ϵ=1$ і асимптотично наближається до кусково-степеневого закону для $ϵ\gg 1$:

${\left(\frac{dF}{dE}\right)}_{ϵ=\mathrm{\infty }}\propto {\left(\frac{E}{E_k}\right)}^{-\gamma }$,

де

$\gamma =\{\begin{array}{cc}{\gamma }_1,& \text{if }E<E_k\\ {\gamma }_2,& \text{if }E>E_k.\end{array}$