Формула монотонності

Формула монотонності — класична теорема про мінімальні поверхні. Вона стверджує зокрема, що площа перетину мінімальної поверхні без межі з кулею з центром на поверхні не може бути менше площі кола того ж радіуса.

Формулювання

Припустимо $M$ є $k$-вимірна мінімальна поверхня в Евклідовому просторі і $p\in M$. Позначимо через $R$ мінімальну відстань від $p$ до межі $M$.

Тоді функція

$r\mapsto \frac{\mathrm{S}(M\cap B_r(p))}{r^m}$

монотонно зростає в інтервалі $[0,R]$; тут $\mathrm{S}$ позначає $k$-вимірну площу і $B_r(p)$ — кулю радіуса $r$ з центром в $p$.

Наслідки

• Для $M$, $p$ і $R$ як в формулюванні виконується нерівність

  $\mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge {\omega }_k\cdot r^m,$

при $r\le R$; тут ${\omega }_k$ позначає об'єм одиничної кулі в $k$-вимірному евклідовому просторі.

• Більш того, якщо $p$ є точкою самопересеченія то

$\mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge 2\cdot {\omega }_k\cdot r^m,$

при $r\le R$.

Застосування

• Еколм і Уайт застосували формулу монотонності в доведенні того, що мінімальна поверхня натягнута на контур з варіацією повороту 4π або менше є вкладеною.
• Бренді і Хунг застосували узагальнену формулу монотонності для оцінки площі перетину мінімальної поверхні з кулею центр якого знаходиться поза поверхнею.

Література

• Шаблон:Стаття

• Шаблон:Стаття