Форма Бовіля — Богомолова

Форма Бовіля — Богомо́лова (також Бовіля — Богомо́лова — Фуджикі) — квадратична форма, що існує на других когомологіях $H^2(X,ℂ)$ компактного гіперкелерового многовиду. Названа на честь Арно Бовіля і Федора Богомолова.

Означення

Нехай $\sigma$ — твірна в $H^{2,0}(X,ℂ)$, обрана так, щоб $\underset{X}{\int }(\sigma \bar{\sigma }{)}^n=1$ (тобто симплектична форма). Тоді будь-яка 2-форма допускає розкладання на годжеви компоненти: $\alpha =\lambda \sigma +\mu \bar{\sigma }+\beta ;\beta \in H^{1,1}(X)$. Визначимо квадратичную форму наступною формулою:

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\underset{X}{\int }{\beta }^2(\sigma \bar{\sigma }{)}^{n-1}$

Властивості форми Бовіля — Богомолова

1. Нехай $𝔛\to B$ — універсальна локальна деформація $X$ (її база $B$ буде кулею). Тоді для $t\in B$, досить близьких до $0$, $q({\sigma }_t)=0$, $q({\sigma }_t,\overline{{\sigma }_t})>0$ (в останній формулі $q$ позначає симетричну білінійну форму, побудовану за квадратичною формою визначеною вище).
2. Відображення, яке ставить точці $t\in B$ точку, що відповідає формі ${\sigma }_t$ в проективізаціі других когомологій $\mathbb{P}(H^2(X,ℂ))$, є, більш того, локальним ізоморфізмом з множиною нулів форми $q$ (локальна теорема Тореллі).
3. $q{|}_{H^2(X,ℝ)}$ — невироджена форма сигнатури $(3,b_2(X)-3)$, де $b_2$ — друге число Бетті.
4. Співвідношення Фуджикі: якщо $\alpha \in H^2(X,ℝ);{q(\alpha )}^n=c\underset{X}{\int }{\alpha }^{2n}$, де $c$ — деяка константа, яка не залежить від комплексної структури на $X$ (а тільки від його топології).

Посилання

• Global Torelli theorem for hyperkaehler manifolds, Misha Verbitsky