Трикутник трьох зовнішніх бісектрис

Трикутник трьох зовнішніх бісектрис$\mathrm{\Delta }{J}_A{J}_B{J}_C$

Еліпс Мандарта

Трикутник трьох зовнішніх бісектрис (трикутник центрів зовнівписаних кіл) $\mathrm{\Delta }{J}_A{J}_B{J}_C$ - трикутник, утворений точками перетину зовнішніх бісектрис один з одним в центрах зовнівписаних кіл вихідного трикутника. (Див. Рис.)

Властивості

• Центр кола, що проходить через центри $J_A,J_B,J_C$ зовнівписаних кіл, є точкою Бевена.
• Вихідний трикутник $\mathrm{\Delta }ABC$ є Ортотрикутником для трикутника зовнішніх бісектрис.
• Описане коло вихідного трикутника є для трикутника зовнішніх бісектрис колом Ейлера.
• Описане коло вихідного нерівнобедреного (в загальному випадку) трикутника перетинає сторони трикутника зовнішніх бісектрис в шести різних точках. Три з них є вершинами вихідного трикутника, а три інших ділять сторони трикутника зовнішніх бісектрис навпіл (див. Властивості кола Ейлера).
• Точка перетину симедіана трикутника трьох зовнішніх бісектрис є центром еліпса Мандара вихідного опорного трикутника.

Вісь зовнішніх бісектрис або антиортова вісь (antiorthic axis) - трилінійна поляра центру вписаного кола (інцентра) трикутника ABC)

• Всі три підстави D, E і F трьох зовнішніх бісектрис відповідно AD, CE і BF зовнішніх кутів Ортотрикутника $ABC$ для трикутника трьох зовнішніх бісектрис $J_1,J_2,J_3$ лежать на одній прямій, званої віссю зовнішніх бісектрис або антиортовою віссю DEF (antiorthic axis) Ортотрикутника $ABC$ (див. рис.). Ця вісь також є трилінійною полярою центру вписаного кола (інцентра).

Властивості подібності родинних трикутників

• Вихідний трикутник $\mathrm{\Delta }ABC$ по відношенню до Ортотрикутнику є трикутником трьох зовнішніх бісектрис.
• Ортотрикутник трикутника трьох зовнішніх бісектрис, а також трикутник трьох зовнішніх бісектрис Ортотрикутника збігаються між собою і збігаються з вихідним трикутником.
• Ортотрикутник і тангенціальний трикутник подібні.
• Ортотрикутник Ортотрикутника і вихідний трикутник подібні.
• Трикутник трьох зовнішніх бісектрис трикутника трьох зовнішніх бісектрис і вихідний трикутник подібні.
• Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
• Вище зазначені властивості подібності родинних трикутників є наслідком нижче перерахованих властивостей паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників.

Властивості паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників

• Сторони даного гострокутного трикутника антипаралельні відповідним сторонам Ортотрикутник, проти яких вони лежать.
• Сторони тангенціального трикутника антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
• Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам Ортотрикутник.
• Нехай, точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, тоді вийде трикутник Жергонна, і в отриманому трикутнику проведено висоти. В цьому випадку прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.

Див. також

• Бісектриса
• Чудові точки трикутника
• Трикутник