Тотожність Вальда

У теорій ймовірностей, рівняння Вальда, тотожність Вальда або лема Вальда — це важлива тотожність, яка спрощує обчислення математичного сподівання суми випадкової кількості випадкових величин. У своїй найпростішій формі воно пов'язує очікування суми випадкової кількості скінченних середніх, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних, з очікуваною кількістю доданків у сумі і спільним математичним сподіванням випадкових змінних за умови, що кількість доданків незалежна від доданків.

Базова версія

Нехай Шаблон:Math буде послідовністю дійсно значимих, незалежних і ідентично розподілених випадкових змінних і нехай Шаблон:Math буде невід'ємною цілочисельною змінною, яка незалежна від послідовності Шаблон:Math. Припустимо, що Шаблон:Math і Шаблон:Math мають скінченні математичні сподівання. Тоді

$\mathrm{E}[X_1+\dots +X_N]=\mathrm{E}[N]\mathrm{E}[X_1].$

Приклад

Киньте шестигранну гральну кість. Візьміть число на кості (назвімо його Шаблон:Math) і стільки разів киньте шестигранну кість, щоб отримати числа Шаблон:Math, додайте їхні значення. Згідно з рівнянням Вальда, середнє вислідне значення становитиме

$\mathrm{E}[N]\mathrm{E}[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}\cdot \frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{441}{36}=12.25.$