Топологія відкритого розширення

Нехай (X,τ) — топологічний простір, $p\notin X$ і $X^{*}=X\cup$ {p}. Тоді топологія τ*={X*} $\cup$τ називається топологією відкритого розширення на X*.

Властивості

• Точковилучена топологія є відкритим розширенням дискретної топології.
• X* є компактним, зв'язним і ультразв'язним простором.
• X* є сепарабельним, задовольняє першу або другу аксіому зліченності тоді й лише тоді, коли Х сепарабельний, задовольняє першу або другу аксіому зліченності відповідно.
• X* є $T_0$-простором в тому й лише в тому разі, коли Х є $T_0$-простором. Х* не є простором $T_1$ і відповідно $T_2$, $T_3$-простором. Х* є $T_4$-простором. Х* є $T_5$-простором тоді й лише тоді, коли Х є $T_5$-простором.
• Відкрите розширення точковмісної топології є $T_0$ і $T_4$, але не $T_1$ і $T_5$-простором.

Див. також

• Точковмісна топологія
• Точковилучена топологія