Тетракісгексаедр

Тетракісгексаедр (від Шаблон:Lang-grc — «чотири рази», Шаблон:Lang-grc2 — «шість» і Шаблон:Lang-grc2 — «грань»), також званий тетрагексаедром або заломленим кубом, — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному октаедру. Складений із 24 однакових гострокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює $\arccos \frac{1}{9}\approx 83,62^{\circ },$ а два інші — $\arccos \frac{2}{3}\approx 48,19^{\circ }.$

Має 14 вершин; у 6 вершинах (розташованих так само, як вершини октаедра) сходяться своїми більшими кутами по 4 грані, у 8 вершинах (розташованих так само, як вершини куба) сходяться меншими кутами по 6 граней.

У тетракісгексаедра 36 ребер — 12 «довгих» (розташованих так само, як ребра куба) і 24 «коротких». Двогранні кути при будь-якому ребрі однакові і дорівнюють $\arccos (-\frac{4}{5})\approx 143,13^{\circ }.$

Тетракісгексаедр можна отримати з куба, приклавши до кожної його грані правильну чотирикутну піраміду з основою, що дорівнює грані куба, і висотою, яка в $4$ рази менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 4 грані замість кожної з 6 граней початкового, що й пояснює його назву.

Тетракісгексаедр — одне з трьох каталанових тіл, у яких існує ейлерів шлях.

Метричні характеристики

Якщо «короткі» ребра тетракісгексаедра мають довжину $a$, то його «довгі» ребра мають довжину. $\frac{4}{3}a\approx 1,33a,$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

$S=\frac{16\sqrt{5}}{3}{a}^2\approx 11,9256959a^2,$

$V=\frac{32}{9}{a}^3\approx 3,5555556a^3.$

Радіус вписаної сфери (яка дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнює

$r=\frac{2\sqrt{5}}{5}a\approx 0,8944272a,$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

$\rho =\frac{2\sqrt{2}}{3}a\approx 0,9428090a.$

Описати навколо тетракісгексаедра сферу так, щоб вона проходила через усі вершини, неможливо.

У координатах

Тетракісгексаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати $(\pm 2;\pm 2;\pm 2),$$(\pm 3;0;0),$$(0;\pm 3;0),$$(0;0;\pm 3).$

Початок координат $(0;0;0)$ буде при цьому центром симетрії многогранника, а також центром його вписаної та напіввписаної сфер.

Посилання

• Шаблон:MathWorld