Тест Тьюкі адитивності

У статистиці, тест Тьюкі аддитивності, названий на честь Джона Тьюкі, є підходом, що використовується у двосторонній ANOVA (регресійний аналіз за участю двох якісних факторів), щоб оцінити, чи є змінні фактора адитивно пов'язаними з очікуваним значенням змінної відгуку. Він може застосовуватися, коли немає реплікації значень в наборі даних, ситуація, при якій неможливо безпосередньо оцінити повністю загальну неаддитивну структуру регресії і все ще мати інформацію для оцінки дисперсії помилки. Тестова статистика запропонована Тьюкі має одну ступінь свободи при нульовій гіпотезі, отже, його часто називають «тест Тьюкі з одним ступенем свободи».

Введення

Найбільш поширеним урегулюванням для теста Тьюкі адитивності є двосторонній факторний аналіз дисперсії (ANOVA) з одним спостереженням на клітинку. Змінна результату Y_ij спостерігалася в таблиці з рядками проіндексованими i = 1,…, m , а стовпці проіндексовані j = 1,…, n . Рядки та стовпці зазвичай відповідають різним типам і рівням обробки, які застосовуються в комбінації.

Адитивна модель стверджує, що очікуваний результат може бути виражений так: EY_ij = μ + α_i + β_j, де α_i та β_j невідомі константи. Невідомі параметри моделі, як правило, оцінюється як:

$\hat{\mu }={\overline{Y}}_{\cdot \cdot }$

${\hat{\alpha }}_i={\overline{Y}}_{i\cdot }-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot }$

${\hat{\beta }}_j={\overline{Y}}_{\cdot j}-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot }.$

де Y_i• — середнє i-того рядка таблиці даних, Y_•j — середнє j-того стовпчика таблиці даних, Y_•• є спільним середнім всієї таблиці.

Адитивну модель може бути узагальнено, щоб врахувати довільні ефекти взаємодії, встановивши EY_ij = μ + α_i + β_j + γ_ij . Однак після установки природної оцінки γ_ij :

${\hat{\gamma }}_{ij}=Y_{ij}-(\hat{\mu }+{\hat{\alpha }}_i+{\hat{\beta }}_j),$

Так, щоб він відповідав наступній величині:

${\hat{Y}}_{ij}=\hat{\mu }+{\hat{\alpha }}_i+{\hat{\beta }}_j+{\hat{\gamma }}_{ij}\equiv Y_{ij}$

Таким чином не залишилося степенів свободи для оцінки дисперсії σ² і ніякої перевірки гіпотез про γ_ij не може виконуватись.

Тому Тьюкі пропонує обмеженішу модель взаємодії у вигляді:

$E{Y}_{ij}=\mu +{\alpha }_i+{\beta }_j+\lambda {\alpha }_i{\beta }_j$

З перевіркою нульової гіпотези, що λ = 0 , ми можемо виявити деякі відхилення від адитивності на основі лише одного параметру λ .

Метод

Для проведення тесту Тьюкі, встановіть:

$S{S}_A\equiv n\sum _i({\overline{Y}}_{i\cdot }-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot }{)}^2$

$S{S}_B\equiv m\sum _j({\overline{Y}}_{\cdot j}-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot }{)}^2$

$S{S}_{AB}\equiv \frac{\sum _{ij}{Y}_{ij}({\overline{Y}}_{i\cdot }-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot })({\overline{Y}}_{\cdot j}-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot })}{\sum _i({\overline{Y}}_{i\cdot }-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot }{)}^2\sum _j({\overline{Y}}_{\cdot j}-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot }{)}^2}$

$S{S}_T\equiv \sum _{ij}(Y_{ij}-{\overline{Y}}_{\cdot \cdot }{)}^2$

$S{S}_E\equiv S{S}_T-S{S}_A-S{S}_B-S{S}_{AB}$

Потім використовуйте наступну статистику тестів:

$\frac{S{S}_{AB}}{S{S}_E}.$ .

При нульовій гіпотезі, статистика тестів має розподіл F =1, q степенів свободи, де q = mn − (m + n) є ступенями свободи для оцінки дисперсії помилки.

Див. також

• Дисперсійний аналіз

Джерела

1. Критерий Тьюки-Крамера на www.machinelearning.ru Шаблон:Ref-ru
2. Шаблон:Книга (PDF) Шаблон:Ref-ru