Теорема Ліувілля про збереження фазового об'єму

Теорема Ліувілля — ключова теорема гамільтонової механіки і класичної статистичної фізики. Згідно з нею, функція розподілу (густина ймовірності) гамільтонової системи залишається сталою вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі, тобто, довільна область фазового простору зберігатиме свій об'єм при еволюції гамільтонової системи.

Об'єм області в фазовому просторі визначається, як

$\mathrm{\Gamma }=\int \prod _{i}d{q}_{i}d{p}_i.$

Еволюція системи задається рівняннями гамільтонової механіки. Тоді будь-яка довільно вибрана область в фазовому просторі буде змінюватися й деформуватися з часом, але згідно з теоремою Ліувілля зберігатиме свій об'єм.

Ця теорема має важливе значення для статистичної фізики.

Рівняння Ліувілля

Рівняння Ліувілля описує часову еволюцію функції розподілу у фазовому просторі. Хоча це рівняння носить ім'я Ліувілля, фактично його вперше опублікував Джозая Віллард Ґіббс у 1902 році. Але оскільки його виведення для неканонічних систем базується на тотожності, виведеній Ліувіллем у 1838 році, то це рівняння носить ім'я Ліувілля.

Розглянемо гамільтонову дінамічну систему з канонічними координатами $q_i$ та спряженими імпульсами $p_i$, де i = 1, …, n. Тоді функція розподілу $\rho (p,q)$ визначає ймовірність $\rho (p,q)d^{n}q{d}^{n}p$ того, що система знаходиться у нескінченно малому об'ємі $d^{n}q{d}^{n}p$ фазового простору. Тоді рівняння Ліувілля визначатиме еволюцію функції розподілу $\rho (p,q,t)$ у момент часу t:

$\frac{d\rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^n(\frac{\partial \rho }{\partial q_i}\dot{q_i}+\frac{\partial \rho }{\partial p_i}\dot{p_i})=0.$

Часові похідні, що позначені крапками, визначаються з рівнянь Гамільтона. Отже, отримане рівняння демонструє збереження густини у фазовому просторі. Теорема Ліувілля стверджує, що:

Функція розподілу залишається постійною вздовж будь-якої траєкторії у фазовому просторі.

Простим доказом теореми слугує той факт, що функція розподілу $\rho (p,q)$ задовольняє рівняння неперервності:

$\frac{d\rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^n(\frac{\partial (\rho {\dot{q}}_i)}{\partial q_i}\dot{q_i}+\frac{\partial (\rho {\dot{p}}_i)}{\partial p_i}\dot{p_i})=0,$

причому член,

$\rho \sum _{i=1}^n(\frac{\partial {\dot{q}}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial {\dot{p}}_i}{\partial p_i})=\rho \sum _{i=1}^n(\frac{{\partial }^2\mathscr{H}}{\partial q_i{p}_i}\dot{q_i}+\frac{{\partial }^2\mathscr{H}}{\partial p_i{q}_i})=0,$

якщо використати рівняння Гамільтона, тотожно дорівнює нулю ($\mathscr{H}$ — функція Гамільтона).

Наслідком теореми Ліувілля є рівняння для функції густини станів у фазовому просторі.

Незмінність об'єму довільної області в фазовому просторі означає те, що незмінною залишається ймовірність знайти систему в цьому об'ємі

$\frac{d\rho }{dt}=0$,

де береться так звана повна похідна.

Однак сама область деформується й міняє форму. Якщо ж цікавитися фіксованим об'ємом, то з плином часу одні траєкторії входитимуть у нього, інші — виходитимуть. Баланс цих траєкторій призводить до рівняння Ліувілля

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\{\rho ,H\}$,

де H — функція Гамільтона, а {.,.} позначає дужку Пуассона.

Джерела

• Шаблон:Cite book, 516 с.