Теорема Гурвіца (теорія чисел)

Шаблон:Otheruses Теорема Гурвіца — результат теорії чисел, про наближення ірраціональних чисел раціональними. Теорема була доведена Адольфом Гурвіцем у 1891 році.

Формулювання

Для будь-якого додатного дійсного числа $c⩽\sqrt{5}$ і ірраціонального числа $\xi$ існує нескінченна кількість взаємно простих цілих чисел $h,k$ таких, що $|\xi -\frac{h}{k}|<\frac{1}{c{k}^2}$.

Натомість для будь-якого числа $c>\sqrt{5}$ існує ірраціональне число $\xi$ таке, що нерівність $|\xi -\frac{h}{k}|<\frac{1}{c{k}^2}$ виконується лише для скінченної кількості взаємно простих цілих чисел $h,k$.

Доведення

Доведення першої частини теореми

Можна вважати, що $0<\xi <1$.

Розглянемо ряд Фарея порядку N і $\frac{a}{b}$ і $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$ два його послідовні члени для яких $\frac{a}{b}<\xi <\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$. Можна вважати, що $b^{\prime }>\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$ або $b^{\prime }<\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$. Справді, якщо $\frac{\sqrt{5}-1}{2}b<b^{\prime }<\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$, то $b+b^{\prime }>\frac{\sqrt{5}+1}{2}\max \{b,b^{\prime }\}$ і тому ряд Фарея $F_N$ можна замінити на $F_{b+b^{\prime }}$, а одне з чисел $\frac{a}{b}$ чи $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$ на $\frac{a+a^{\prime }}{b+b^{\prime }}$.

Позначаючи $\omega =\frac{b^{\prime }}{b}$, таким чином $\omega >\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ або $\omega <\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. В будь-якому випадку $1+{\omega }^{-2}>\sqrt{5}{\omega }^{-1}$, оскільки

$\frac{1}{\sqrt{5}}(1+\frac{1}{{\omega }^2})-\frac{1}{\omega }=\frac{1}{\sqrt{5}{\omega }^2}(\omega -\frac{\sqrt{5}-1}{2})(\omega -\frac{\sqrt{5}+1}{2})>0$.

Звідси

$\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b{\text{'}}^2})=\frac{1}{\sqrt{5}{b}^2}(1+\frac{1}{{\omega }^2})>\frac{1}{\omega b^2}$.

З цієї нерівності отримуємо $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}-\frac{a}{b}=\frac{1}{b{b}^{\prime }}=\frac{1}{\omega b^2}<\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b{\text{'}}^2})$.

Таким чином один із інтервалів $(\frac{a}{b},\frac{a}{b}+\frac{1}{\sqrt{5}{b}^2})$ або $(\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}-\frac{1}{\sqrt{5}(b^{\prime }{)}^2},\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }})$ містить $\xi$ і відповідно одне з чисел $\frac{a}{b}$ або $\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}$ задовольняє умову теореми.

Позначаючи це число $\frac{h}{k}$ маємо $|\xi -\frac{h}{k}|<\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}-\frac{a}{b}=\frac{1}{b{b}^{\prime }}⩽\frac{1}{b+b^{\prime }-1}$ і оскільки з властивостей рядів Фарея $F_N$ для послідовних членів ряду $b+b^{\prime }⩾N+1$ то звідси $|\xi -\frac{h}{k}|<\frac{1}{N}$. Оскільки число $N$ було довільним (в процесі доведення його можливо замінено на деяке більше число), то обираючи різні такі числа ми отримаємо нескінченну кількість дробів $\frac{h}{k}$, що задовольняють умови теореми.

Контрприклад для другої частини теореми

Нехай $c=\frac{\sqrt{5}}{\alpha }$, де $0<\alpha <1$ і $\xi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Припустимо, що $|\frac{h}{k}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|<\frac{\alpha }{\sqrt{5}{k}^2}$. Це можна переписати як рівність $\theta =\sqrt{5}{k}^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{h}{k})$, де $|\theta |\le \alpha$. Після перегрупування доданків і піднесення до квадрату одержуємо $h^2-hk-k^2=\frac{{\theta }^2}{5k^2}-\theta$. Якщо розглянути $P(h)=h^2-hk-k^2$ як многочлен від $h$, то $P(h)=0\iff h=\frac{(1\pm \sqrt{5})k}{2}$. Оскільки $h$ і $k$ є цілими числами і $k\ne 0$ це неможливо і тому $|h^2-hk-k^2|\ge 1$.

Оскільки $|\theta |⩽\alpha <1$ то $1\le |\frac{{\theta }^2}{5k^2}-\theta |\le |\theta |+\frac{|\theta {|}^2}{5k^2}\le \alpha +\frac{{\alpha }^2}{5k^2}$, або $k^2<\frac{{\alpha }^2}{5(1-\alpha )}$.

Тобто натуральне число $k$ може мати лише скінченну кількість значень. Тоді $h$ теж може приймати скінченну кількість значень.

Література

• Шаблон:Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел