Теорема Бора-Молерупа

Теорема Бора — Шаблон:Не перекладено ствердує, що гамма-функція, означена на Шаблон:Math як

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

це єдина функція Шаблон:Mvar на проміжку Шаблон:Math, яка одночасно має такі три властивості

• Шаблон:Math, і
• Шаблон:Math для Шаблон:Math і
• Шаблон:Mvar — логарифмічно опукла.

Доведення

Нехай Шаблон:Math буде функцією з припущеними вище властивостями: Шаблон:Math і Шаблон:Math опукла, і Шаблон:Math. З того, що Шаблон:Math ми можемо вивести

$\mathrm{\Gamma }(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\mathrm{\Gamma }(x)$

Це нам потрібно для того, щоб Шаблон:Math змушувало Шаблон:Math повторювати фукторіали всіх цілих чисел, отже тепер ми можемо сказати, що Шаблон:Math якщо Шаблон:Math і якщо Шаблон:Math взагалі існує. З нашої формули для Шаблон:Math випливає, що якщо ми повністю розуміємо Шаблон:Math для Шаблон:Math то ми розміємо Шаблон:Math для всіх значень Шаблон:Mvar.

Нахил лінії, що з'єднує дві точки: Шаблон:Math і Шаблон:Math, назвемо його Шаблон:Math, монотонно висхідний для кожного зі своїх аргументів з Шаблон:Math бо ми припустили, що Шаблон:Math опукла. Отже, ми знаємо, що

$\begin{array}{cccc}S(n-1,n)& \le S(n,n+x)\le S(n,n+1)& & 0<x\le 1\\ [6pt]\frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n))-\log (\mathrm{\Gamma }(n-1))}{n-(n-1)}& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n))-\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))}{n-(n+x)}\le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n))-\log (\mathrm{\Gamma }(n+1))}{n-(n+1)}\\ [6pt]\frac{\log ((n-1)!)-\log ((n-2)!)}{1}& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)}{x}\le \frac{\log (n!)-\log ((n-1)!)}{1}\\ [6pt]\log \left(\frac{(n-1)!}{(n-2)!}\right)& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)}{x}\le \log \left(\frac{n!}{(n-1)!}\right)\\ [6pt]\log (n-1)& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)}{x}\le \log (n)\\ x\log (n-1)& \le \log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)\le x\log (n)\\ \log ((n-1{)}^x)+\log ((n-1)!)& \le \log (\mathrm{\Gamma }(n+x))\le \log \left(n^x\right)+\log ((n-1)!)\\ \log ((n-1{)}^x(n-1)!)& \le \log (\mathrm{\Gamma }(n+x))\le \log (n^x(n-1)!)\\ (n-1{)}^x(n-1)!& \le \mathrm{\Gamma }(n+x)\le n^x(n-1)!& & \text{(*)}\\ [6pt](n-1{)}^x(n-1)!& \le (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\mathrm{\Gamma }(x)\le n^x(n-1)!\\ [6pt]\frac{(n-1{)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}\\ [6pt]\frac{(n-1{)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)\\ [6pt]\end{array}$

Перехід $\text{(*)}$ можливий, бо $\log$ монотонно висхідна. Останній рядок — це сильне твердження. Зокрема, воно виконується для всіх значень Шаблон:Mvar. Тобто Шаблон:Math не більша ніж правий бік для будь-якого Шаблон:Mvar і так само, Шаблон:Math не менша ніж лівий бік для будь-якого Шаблон:Mvar. Кожну нерівність можна тлумачити як незалеєне твердження. Завдяки цьому факту, ми ми вільні обирати різні значення Шаблон:Mvar для правого лівого боків. Так, якщо ми збережемо Шаблон:Mvar для правого боку і виберемо Шаблон:Math для лівого, то:

$\begin{array}{cc}\frac{((n+1)-1{)}^x((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)\\ \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)\end{array}$

З останнього рядку очевидно, що функція затиснена між двома виразами, звичайна практика для доведення різноманітних штук як-от існування границі або сходимості. Нехай Шаблон:Math:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+x}{n}=1$

тому при переході до границі лівий і правий боки дорівнюють один одному і це означає, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}=\mathrm{\Gamma }(x).$

У конетксті нашого доведення

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}$

має три властивості Шаблон:Math. Також, доведення надає вираз для Шаблон:Math. І остання критична частина доведення — це те. що границя послідовності унікальна. Це означає, що для будь-якого вибору Шаблон:Math може існувати лише одне Шаблон:Math. Отже, не існує іншої функції з властивостями приписаними Шаблон:Math.

Залишилось покажати, що Шаблон:Math спрацьовує для всіх Шаблон:Mvar для яких

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}$

існує. Проблема полягає в тому, що ми побудували нашу першу нерівність

$S(n-1,n)\le S(n+x,n)\le S(n+1,n)$

з обмеженням Шаблон:Math. Якщо, скажімо, Шаблон:Math тоді факт того, що Шаблон:Mvar монотонно висхідна зробив би Шаблон:Math, що протирічить нерівності на якій побудувоне все доведення. Але зауважте, що

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x+1)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\cdot \left(\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\right)\frac{n}{n+x+1}\\ \mathrm{\Gamma }(x)& =\left(\frac{1}{x}\right)\mathrm{\Gamma }(x+1)\end{array}$

що показує як розгорнути функцію Шаблон:Math для всіх значень Шаблон:Mvar де границя має місце.

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Planetmath reference
• Шаблон:Planetmath reference
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book (Textbook in Complex Analysis)