Теорема Барбашина — Красовського

У теорії звичайних диференціальних рівнянь теоре́ма Барба́шина — Красо́вського (також при́нцип інваріа́нтності ЛаСа́ля; Шаблон:Lang-en) дає достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь. Загальне твердження було незалежно доведене Шаблон:Нп та Д. П. ЛаСалєм. В англомовних джерелах результат відомий під назвою принцип інваріантності ЛаСаля (Шаблон:Lang-en), тоді як в українській (та радянській) літературі здебільшого вживається термін теорема Красовського, або теорема Барбашина-Красовського.

Постановка

Стан системи у фазовому просторі ${ℝ}^n$ (де $n\in \mathbb{N}$) в час $t\in ℝ$ даний точкою $\overrightarrow{x}(t)=(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t))$, де $x_1,x_2,\dots ,x_n$ диференційовні функції. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь $\dot{\overrightarrow{x}}(t)=f(\overrightarrow{x}(t))$, де $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ неперервна функція, $f(\overrightarrow{x}(t))=\frac{d}{dt}\overrightarrow{x}(t)$. Систему можна коротко записати як $\dot{\overrightarrow{x}}=f(\overrightarrow{x})$. Припустимо що $\overrightarrow{0}\in {ℝ}^n$ є точкою рівноваги системи, тобто $f(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}$.

Теорема Барбашина — Красовського

Якщо існує Шаблон:Нп нескінченно велика функція $V(\overrightarrow{x})$ похідна від якої по часу $\frac{dV}{dt}$ вздовж траєкторій системи $\dot{\overrightarrow{x}}=f(\overrightarrow{x})$ є від'ємно-сталою (тобто $\frac{dV}{dt}\le 0$ повсюди), причому рівність $\frac{d}{dt}V(\overrightarrow{x})=0$ можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$, то нульовий розв'язок системи рівнянь $\dot{\overrightarrow{x}}=f(\overrightarrow{x})$ стійкий в цілому.

Принцип інваріантності ЛаСаля

Нехай $V(\overrightarrow{x})$ скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди яка також задовольняє

1. $V(\overrightarrow{x})>0$ коли $\overrightarrow{x}\ne \overrightarrow{0}$,
2. $\dot{V}(\overrightarrow{x})\le 0$ повсюди,
3. $V(\overrightarrow{x})\to \mathrm{\infty }$ з тим як $||\overrightarrow{x}||\to \mathrm{\infty }$.

Якщо рівність $\dot{V}(\overrightarrow{x})\equiv \mathrm{\nabla }V\cdot f(\overrightarrow{x})=0$ можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$, то нульовий розв'язок системи рівнянь $\dot{\overrightarrow{x}}=f(\overrightarrow{x})$ стійкий в цілому.

Див. також

• Функція Ляпунова
• Теорія стійкості

Оригінальні статті

• Шаблон:Lng LaSalle J. P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. — Загальне твердження.
• Шаблон:Lng Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом, 1952. — Окремий випадок.
• Шаблон:Lng Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения, 1959. — Загальне твердження.

Посилання

• Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах. — Шаблон:К. : Вища школа, 1994.
• Перестюк М. О., Чернікова О. С. Теорія стійкості.