Теорема Александрова про опуклі многогранники

Теорема Александрова про опуклі многогранники — геометрична теорема про однозначність замкненого опуклого многогранника із заданими напрямами граней, доведена О. Д. Александровим у 1937 році. Зазвичай її формулюють так:

Вкажемо ще одне формулювання, як легко бачити, еквівалентне попередньому. В ній функція $f(Q)$ називається монотонною функцією багатокутника $Q$, якщо вона має властивість: $f(Q_1)>f(Q_2)$, якщо $Q_2$ можна вмістити всередині $Q_1$.

Коментарі

• Для тривимірного простору теорема Александрова про опуклі многогранники узагальнює теорему єдиності Мінковського, яка стверджує, що «два рівних многогранники з попарно паралельними й рівновеликими гранями рівні й паралельно розташовані». Справді, як монотонну функцію багатокутника $f(Q)$ тут досить узяти площу.
• Твердження, що отримується з теореми Александрова про опуклі многогранники, якщо в ній як монотонну функцію багатокутника $f(Q)$ взяти периметр, цікаве тим, що вже понад 70 років геометри не можуть знайти відповідної теореми існування.
• В евклідовому просторі вимірності 2 твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, істинне, але тривіальне.
• В евклідовому просторі вимірності 4 (і в усіх більш високих вимірностях) твердження, аналогічне теоремі Александрова про опуклі многогранники, хибне. Як контрприклад можна взяти чотиривимірний куб з ребром 2 і чотиривимірний прямокутний паралелепіпед з ребрами 1, 1, 3, 3.
• Про рівність багатовимірних опуклих многогранників при умові, що їхні паралельні двовимірні грані не вміщуються, див..

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Олександра Александрова