Твердження Едсгара Дейкстра

Шаблон:Без джерел Тве́рдження Едсгара Дейкстри є одним із доведень теореми Піфагора.

Твердження Е. Дейкстра

Доведення

Розглянемо довільний трикутник ABC.

Дейкстра побудував дві додаткові лінії CH і CK так що $\mathrm{\angle }BCK=\mathrm{\angle }CAB$ і $\mathrm{\angle }ACH=\mathrm{\angle }CBA$, що робить трикутники ABC, ACH і BCK подібними і кути AHC і BKC рівними.

Ми маємо випадок $\alpha +\beta <\gamma$, в якому трикутники CKB і AHC, непересічні області і не охоплюють весь $\mathrm{△}ACB$; позначаючи площі $\mathrm{△}XYZ$ як "XYZ" отримаємо наступний випадок

$CKB+AHC<ACB.$

У випадку $\alpha +\beta =\gamma$, H і K збігаються і ми маємо

$CKB+AHC=ACB$

і у випадку $\alpha +\beta >\gamma$, де два трикутники перетинаються, маємо

$CKB+AHC>ACB.$

Підсумувавши, отримаємо

$\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\mathrm{sgn}(CKB+AHC-ACB).$

Три площі цих подібних трикутників мають співвідношення як квадрати відповідних сторін, зокрема

$\frac{CKB}{a^2}=\frac{AHC}{b^2}=\frac{ACB}{c^2}=k>0,k>0.$

Звідси,

$\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\mathrm{sgn}(a^2+b^2-c^2).$

Отже, ми довели теорему

$\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\mathrm{sgn}(a^2+b^2-c^2).$

Рівність для трапеції

Доведення

Розглянемо $\mathrm{△}BOC$ та $\mathrm{△}DOA$.

З подібності трикутників маємо відношення

$\frac{BC}{DA}=\frac{BO}{DO}=\frac{CO}{AO}=k.$

Нехай $AC=d_1$, тоді

$\frac{CO}{AO}=\frac{d_1-AO}{AO}=k;AO=\frac{d_1}{k+1}$.

Нехай $BD=d_2$. Аналогічно

$DO=\frac{d_2}{k+1}$.

За теоремою Дейкстра

$\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\mathrm{sgn}(A{O}^2+O{D}^2-A{D}^2)=\mathrm{sgn}(\frac{d_1^2}{(k+1{)}^2}+\frac{d_2^2}{(k+1{)}^2}-d^2).$

Відомо, що $d_1^2+d_2^2=2bd+a^2+c^2$.

Виразимо d:

$\frac{BC}{AD}=k=\frac{b}{d};k+1=\frac{b}{d}+1=\frac{b+d}{d}⟹d=\frac{b+d}{k+1}$.

Підставимо:

$\mathrm{sgn}(\frac{2bd+a^2+c^2}{(k+1{)}^2}-\frac{(b+d{)}^2}{(k+1{)}^2})=\mathrm{sgn}\left(\frac{2bd+a^2+c^2-b^2-2bd-d^2}{(k+1{)}^2}\right)=$

$=|k+1\ne 0|=\mathrm{sgn}(a^2+c^2-b^2-d^2)=\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma ).$

Оскільки $\gamma ={\alpha }_1+{\beta }_1$ одержимо наступну рівність

$\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -\gamma )=\mathrm{sgn}(\alpha +\beta -{\alpha }_1-{\beta }_1)=\mathrm{sgn}(a^2+c^2-b^2-d^2).$

Що й треба було довести.

Узагальнення

Якщо у твердженні Дейкстра покласти $\alpha +\beta =\gamma =\pi /2$, то утвориться прямокутний трикутник і згідно теореми

$a^2+b^2=c^2$.

Остання рівність всім відома як теорема Піфагора.

Зокрема, в трапеції із перпендикулярними діагоналями для бічних сторін виконується рівність

$a^2+c^2=b^2+d^2.$