Схема Чуа

Малюнок 1. Еквівалентна схема для кола Чуа, що складається з лінійних пасивних елементів: котушки індуктивності (L), провідника (R) і двох конденсаторів (C1, C2), а g — нелінійний елемент званий діодом Чуа. У класичному варіанті пропонуються такі значення елементів: L = 1/7 Гн; G = 0,7 См; C1 = 1/9 Ф; C2 = 1 Ф.

Схема Чуа або коло Чуа — найпростіше електричне коло, що демонструє режими хаотичних коливань. Схему запропонував професор Каліфорнійського університету Шаблон:Нп в 1983 році. Схема складається з двох конденсаторів, однієї котушки індуктивності, лінійного резистора і нелінійного резистора з від'ємним опором (зазвичай званого діодом Чуа).

Математична модель

Систему рівнянь для кола, зображеного на малюнку 1, можна отримати використовуючи перше правило Кірхгофа і формулу для напруги на котушці індуктивності:

$\{\begin{array}{cc}{C}_1\frac{d{v}_{C_1}}{dt}& =G(v_{C_2}-v_{C_1})-g(v_{C_1}),\\ C_2\frac{d{v}_{C_2}}{dt}& =G(v_{C_1}-v_{C_2})+i_L,\\ L\frac{d{i}_L}{dt}& =-v_{C_2},\end{array}$

де $v_{C_1}$ і $v_{C_2}$ — напруги на ємностях, $i_L$ — струм через котушку індуктивності, $g(v_{C_1})$ — кусково-лінійна функція, що характеризує діод Чуа, визначена як

$g(v_{C_1})=G_b{v}_{C_1}+\frac{1}{2}(G_a-G_b)(|v_{C_1}+E|-|v_{C_1}-E|).$

Малюнок 2. Вольт-амперна характеристика діода Чуа. Також показана навантажувальна пряма, від перетину з якою утворюються три точки рівноваги d, 0 −d

Ця нелінійна функція подана графічно на рисунку 2: крутина внутрішньої і зовнішньої ділянок становить G_a і G_b відповідно; при цьому точки ±Е відповідають зламам на графіку.

Виконаємо такі заміни на безрозмірні коефіцієнти:

$m_0=\frac{G_a}{G},m_1=\frac{G_b}{G},\alpha =\frac{C_2}{C_1},\beta =\frac{C_2}{L{G}^2},$

$\tau =\frac{tG}{C_2},x=\frac{v_{C_1}}{E},y=\frac{v_{C_2}}{E},z=\frac{i_L}{EG}.$

Основна система рівнянь запишеться у вигляді

$\{\begin{array}{cc}\frac{dx}{d\tau }& =\alpha (y-x-h(x)),\\ \frac{dy}{d\tau }& =x-y+z,\\ \frac{dz}{d\tau }& =-\beta y,\end{array}$

де

$h(x)=m_{1}x+\frac{1}{2}(m_0-m_1)(|x+1|-|x-1|).$

Режими роботи

Малюнок 3. Комп’ютерна модель схеми Чуа за 100 секунд, видно хаотичний атрактор типу "подвійний завиток"

Малюнок 4. Атрактор Чуа для різних значень параметра α

Схема Чуа виявляє хаотичні режими коливань в досить вузькій області параметрів.

Осцилятор Чуа

Термін «Осцилятор Чуа» використовується для розгляду кола Чуа з урахуванням активного опору котушки індуктивності L. Дана схема має ще більше число різноманітних режимів і може бути реалізована практично (малюнок 5).

Малюнок 5. Практична схема осцилятора Чуа. L1 = 8,5 мГн, C1 = 4,8 нФ, C2 = 69 нФ, R = 1,3 кОм

Приймаючи R₀ — активний опір котушки індуктивності L, отримаємо систему рівнянь

$\{\begin{array}{cc}{C}_1\frac{d{v}_{c_1}}{dt}& =G(v_{C_2}-v_{C_1})-g(v_{C_1}),\\ C_2\frac{d{v}_{c_2}}{dt}& =G(v_{C_1}-v_{C_2})+i_L,\\ L\frac{d{i}_L}{dt}& =-v_{C_2}+R_0{i}_L.\end{array}$

Легкість практичної реалізації, а також наявність відносно простої математичної моделі робить коло Чуа зручною моделлю для вивчення хаосу.

Див. також

• Мемристор

Література

• Кузнецов А. П. Наглядные образы хаоса // Шаблон:Нп, 2000, № 11, с. 104—110;
• Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие Шаблон:Webarchive, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
• Matsumoto, T. A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit Шаблон:Webarchive, IEEE Transactions on Circuits & Systems,1984, vol. CAS-31, no. 12, pp. 1055–1058.
• Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family" Шаблон:Webarchive, IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, no. 11, pp. 1073–1118.
• T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro. «Birth and death of the double scroll», Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan/Feb 1987).

Посилання

• Chua's Circuit diagrams, equations, simulation and pictures Шаблон:Webarchive Схеми Чуа, формули, моделювання та фотографії
• Chua's Circuit: Diagram and discussion Шаблон:Webarchive
• NOEL laboratory. Шаблон:Webarchive Leon O. Chua's laboratory at the University of California, Berkeley Шаблон:Webarchive
• References Шаблон:Webarchive
• ТИИЭР Те 75 № 8 Серпень 1987