Суперінтегровна гамільтонова система

Суперінтегровна гамільтонова система — це гамільтонова система на $2n$-мірному симплектичному многовиді $Z$, для якого виконуються наступні умови: (i) Існують $n<k+1$ незалежних інтегралів руху $F_i$. Їх поверхні рівня (інваріантні підмноговиди) утворюють розшарований многовид $F:Z\to N=F(Z)$ над зв'язаною відкритою підмножиною $N\subset {ℝ}^k$.

(ii) Існують гладкі дійсні функції $s_{ij}$ на $N$, такі що дужки Пуассона інтегралів руху мають вигляд $\{F_i,F_j\}=s_{ij}\circ F$.

(iii) Матриця $s_{ij}$ має сталий коранг $m=2n-k$ на $N$.

Якщо $k=n$, то це — випадок цілком інтегровної гамільтонової системи. Теорема Міщенко — Фоменко для суперінтегровних гамільтонових систем наступним чином узагальнює теорему Ліувілля — Арнольда про змінні дія — кут.

Нехай інваріантні підмноговиди суперінтегровної гамільтонової системи зв'язані, компактні і взаємодифеоморфні. Тоді розшарований многовид $F$ є локальним тривіальним розшаруванням на тори $T^m$. Для даного його шару $M$ існує його відкритий окіл $U$, що є тривіальним розшаруванням, наділеним пошаровими узагальненими координатами дія — кут $(I_A,p_i,q^i,{\varphi }^A)$, $A=1,\dots ,m$, $i=1,\dots ,n-m$, такими що $({\varphi }^A)$ — координати на $T^m$. Ці координати є канонічними координатами на симплектичному многовиді $U$. При цьому гамильтониан суперінтегровної системи залежить тільки від змінних дії $I_A$, що є функціями Казимира коіндукованої пуассонової структури на $F(U)$.

Теорема Ліувілля — Арнольда для цілком інтегровних систем і теорема Міщенко — Фоменко для суперінтегровних систем були узагальнені на випадок некомпактних інваріантних підмноговидів. Вони дифеоморфні тороїдальним циліндрам $T^{m-r}\times {ℝ}^r$.

Література

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; Шаблон:Arxiv.
• Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93.
• Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; Шаблон:Arxiv.
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv: 1303.5363Шаблон:Недоступне посилання.