Супереліпсоїд

Приклади супереліпсоїдів

Супереліпсоїд  — геометричне тіло, поперечними перерізами якого є супереліпсами (криві Ламе) із сталим показником степеня r, а вертикальні перерізи — супереліпсами із показником степеня t. Деякі супереліпсоїди є суперквадриками, однак жодне з цих сімейств не є підмножиною іншого.

Частковим випадком супереліпсоїда є суперяйце, запропоноване Пітом Хейном.

Математичний опис

Базова форма

Базовий супереліпсоїд визначається рівнянням

${({\left|x\right|}^r+{\left|y\right|}^r)}^{t/r}+{\left|z\right|}^t\le 1.$

Параметри r та t — додатні дійсні числа, що визначають форму фігури, у частковому випадку — ступінь площинності полюсів і екватора. Коли t = r, супереліпс стає частковим випадком суперквадриків.

Довільний горизонтальний переріз супереліпсоїда площиною z = b, де -1 < b < +1, є кривою Ламе з показником степеня r, і масштабним коефіцієнтом

$a=(1-{\left|z\right|}^t{)}^{1/t};$

${\left|\frac{x}{a}\right|}^r+{\left|\frac{y}{a}\right|}^r\le 1.$

Довільний переріз меридіональною площиною, що проходить через вісь симетрії також є кривою Ламе з показником степеня t і видовженою в горизонтальному напрямку з коефіцієнтом w, що залежить від положення січної площини. Саме, якщо x = u cos θ та y = u sin θ при фіксованому θ, то

${\left|\frac{u}{w}\right|}^t+{\left|z\right|}^t\le 1,$

де

$w=({|\cos \theta |}^r+{|\sin \theta |}^r{)}^{-1/r}.$

У частковому випадку, якщо r = 2, горизонтальні перерізи є колами, а w = 1 для усіх січних площин. У цьому випадку супереліпсоїд є тілом обертання, що отримується обертанням кривої Ламе з показником степеня t навколо вертикальної осі.

Базовий супереліпсоїд розміщається у просторі всередині куба, де значення кожної з трьох координат лежать в межах від −1 до +1. Супереліпсоїд загального вигляду отримується масштабуванням базового супереліпсоїда по координатних осях з коефіцієнтамиA, B, C, котрі є півосями отриманого супереліпсоїда. Рівняння супереліпсоїда загального вигляду

${({\left|\frac{x}{A}\right|}^r+{\left|\frac{y}{B}\right|}^r)}^{t/r}+{\left|\frac{z}{C}\right|}^t\le 1.$

Поклавши r = 2, t = 2,5, A = B = 3, C = 4, отримаємо суперяйце Піта Хейна.

Супереліпсоїд загального вигляду у параметричному вигляді через параметри u та v (довгота в широта) запишеться як:

$\begin{array}{cc}x(u,v)& =Ac(v,\frac{2}{t})c(u,\frac{2}{r});\\ y(u,v)& =Bc(v,\frac{2}{t})s(u,\frac{2}{r});\\ z(u,v)& =Cs(v,\frac{2}{t});\\ & -\pi /2\le v\le \pi /2,-\pi \le u<\pi ,\end{array}$

де

$\begin{array}{cc}c(\omega ,m)& =\mathrm{sgn}(\cos \omega )|\cos \omega {|}^m;\\ s(\omega ,m)& =\mathrm{sgn}(\sin \omega )|\sin \omega {|}^m;\end{array}$

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{cc}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ +1,& x>0.\end{array}$

Об'єм супереліпсоїда у вираженні через бета-функцію β(m,n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m + n), виразиться формулою

$V=\frac{2}{3}ABC\frac{4}{rt}\beta (\frac{1}{r},\frac{1}{r})\beta (\frac{2}{t},\frac{1}{t}).$

Див. також

• Супереліпс
• Суперквадрики
• Суперяйце

Джерела

• Jaklič, A., Leonardis, A., Solina, F. Segmentation and Recovery of Superquadrics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.

Посилання

• Bibliography: SuperQuadric Representations Шаблон:Webarchive
• Superquadric Tensor Glyphs Шаблон:Webarchive
• SuperQuadric Ellipsoids and Toroids, OpenGL Lighting, and Timing Шаблон:Webarchive
• Superquadratics Шаблон:Webarchive by Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project.