Суміжнісний многогранник

k-сумі́жнісний многогра́нник — це опуклий многогранник, у якому будь-яка k-елементна підмножина його вершин є множиною вершин деякої грані цього многогранника.

Визначення

Опуклий многогранник, у якому будь-яка k-елементна підмножина вершин є множиною вершин деякої грані цього многогранника, називається k-суміжніснимШаблон:Sfn.

Простий многогранник називається двоїсто суміжнісним, якщо будь-які k його гіперграней мають непорожній перетин (який у цьому випадку є гранню корозмірності k)Шаблон:Sfn.

Кажуть, що многогранник суміжнісний без специфікації k, якщо він k-суміжнісний для $k=\lfloor d/2\rfloor$. Якщо виключити симплекси, це буде найбільше можливе значення для k. Фактично, будь-який многогранник, k-суміжнісний для деякого $k\ge 1+\lfloor d/2\rfloor$, є симплексомШаблон:Sfn.

Приклади

• 2-суміжнісний многогранник — це многогранник, у якому кожна пара вершин пов'язана ребром. Таким чином, граф 2-суміжнісного многогранника є повним графом. 2-суміжнісні многогранники з числом вершин більш як чотири можуть існувати тільки в просторах розмірності 4 і вище (і, в загальному випадку, k-суміжнісний многогранник, відмінний від симплекса, вимагає розмірності 2k і вище).
• Добуток $P={\mathrm{\Delta }}^2\times {\mathrm{\Delta }}^2$ двох трикутників є простим многогранником і легко бачити, що будь-які дві його гіперграні перетинаються по деякій 2-грані. Таким чином, цей многогранник є двоїсто 2-суміжнісним. Полярний многогранник $P^{*}$ є суміжнісним симпліційним 4-многогранникомШаблон:Sfn.
• d-симплекс є d-суміжнісним многогранником.

В k-суміжнісному многограннику з $k⩾3$, будь-яка 2-грань повинна бути трикутною, а в k-суміжнісному многограннику з $k⩾4$ будь-яка 3-грань повинна бути тетраедром. У загальному випадку в будь-якому k-суміжнісному многограннику всі грані з розмірністю менше від k є симплексами.

Циклічні многогранники

Шаблон:Докладніше Циклічні многогранники, утворені як опуклі оболонки скінченного числа точок кривої моментів (t, t², …, t^d) у d-вимірному просторі, автоматично є суміжнісними многогранниками. (З тотожності для визначника Вандермонда випливає, що ніякі (d + 1) точок на кривій моментів не лежать на одній афінній гіперплощині. Таким чином, многогранник є симпліційним d-многогранникомШаблон:Sfn)

Теодор Моцкін висловив гіпотезу, що всі суміжнісні многогранники комбінаторно еквівалентні циклічним многогранникамШаблон:Sfn. Однак, всупереч цьому, існує багато суміжнісних многогранників, які не є циклічними — число комбінаторно різних суміжнісних многогранників зростає суперекспоненційно як за числом вершин, так і за розмірністюШаблон:Sfn.

Загальні властивості

Опукла оболонка множини нормально розподілених випадкових точок, коли число точок пропорційне розмірності, з великою імовірністю є k-суміжнісним многогранником для k, яке також пропорційне розмірностіШаблон:Sfn.

Число граней усіх розмірностей суміжнісного многогранника в просторах парної розмірності визначається виключно розмірністю простору і числом вершин за рівнянням Дена — Сомервіля: число k-вимірних граней f_k задовольняє нерівності

$f_{k-1}\le \sum _{i=0}^{d/2}{}^{*}((\genfrac{}{}{0ex}{}{d-i}{k-i})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k-d+i}))(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-d-1+i}{i}),$

де зірочка означає припинення підсумовування на $i=\lfloor d/2\rfloor$ і кінцевий член суми повинен бути поділений на два, якщо d парнеШаблон:Sfn. Згідно з Шаблон:Не перекладено МакмулленаШаблон:Sfn, суміжнісні многогранники досягають найбільшого числа граней серед n-вершинних d-вимірних опуклих многогранників.

Узагальнена версія задачі зі щасливим кінцем застосовується до набору точок у просторі високої розмірності і передбачає, що для будь-якої розмірності d і будь-якого n > d існує число m(d,n) із властивістю, що будь-які m точок у загальному положенні в d-вимірному просторі містять підмножину з n точок, що утворюють вершини суміжнісного многогранникаШаблон:Sfn

Гіпотеза Максименко

Число вершин 2-суміжнісного многогранника не перевищує числа його фасет. Гіпотеза справедлива для випадків d < 7 (мала розмірність) і $f_0<d+6$ (невелике число вершин, f₀ — число вершин)Шаблон:Sfn.

Література

• Шаблон:Публікація
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Публікація
• Шаблон:Публікація
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга