Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці

Стаціонарна теорія збурень в квантовій механіці — теорія збурень, де гамільтоніан не залежить від часу. Теорія запропонована Шредінгером в 1926 році. Теорія може бути застосована для досить слабких збурень: $H=H_0+\lambda H_1$, при цьому параметр $\lambda$ повинен бути настільки маленьким, щоб збурення не дуже спотворювало незбурений спектр $H^0$.

Невироджений спектр

В теорії збурень рішення представляється у вигляді розкладання

$|n⟩=|n^0⟩+\lambda |n^1⟩+{\lambda }^2|n^2⟩+...,$

$E_n=E_n^0+\lambda E_n^1+{\lambda }^2{E}_n^2+...$

Звичайно, має бути вірне Рівняння Шредінгера:

$H|n⟩=E_n|n⟩.$

Підставляючи розкладання в це рівняння, отримаємо

$(H_0+\lambda H_1)(|n^0⟩+\lambda |n^1⟩+{\lambda }^2|n^2⟩+...)=$

$(E_n^0+\lambda E_n^1+{\lambda }^2{E}_n^2+...)(|n^0⟩+\lambda |n^1⟩+{\lambda }^2|n^2⟩+...)$

Збираючи складові однакового порядку по $\lambda$, отримаємо послідовності рівнянь

$H_0|n^0⟩=E_n^0|n^0⟩,$

$H_0|n^1⟩+H_1|n^0⟩=E_n^0|n^1⟩+E_n^1|n^0⟩,$

$H_0|n^2⟩+H_1|n^1⟩=E_n^0|n^2⟩+E_n^1|n^1⟩+E_n^2|n^0⟩.$

і т. д. Ці рівняння повинні вирішуватися послідовно для отримання $E_n^k$ и $n^k$. Доданок з індексом $k=0$ — це рішення для незбуреного рівняння Шредінгера, тому й говорять також про «наближення нульового порядку». Аналогічно кажуть про «наближення k-го порядку», якщо розраховують рішення до доданків $E_n^k$ і $n^k$.

З другого рівняння отримуємо, що можна визначати однозначно рішення для $n^1$ тільки з додатковими умовами, так як кожна лінійна комбінація $n^1$ і $n^0$ є рішенням. Виникає питання про нормалізацію. Ми можемо припустити, що $⟨n^0|n^0⟩=1$, але в той же час з нормування точного рішення слід $⟨n|n⟩=1$. Тоді в першому порядку (по параметру λ) для умови нормування потрібно покласти $⟨n^0|n^1⟩+⟨n^1|n^0⟩=0$. Оскільки вибір фази в квантовій механіці довільний, можна без втрати спільності сказати, що число $⟨n^0|n⟩$ дійсне. Тому $⟨n^0|n^1⟩=-⟨n^0|n^1⟩$, і, як наслідок, накладається додаткова умова що набуде вигляду:

$⟨n^0|n^1⟩=0.$

Так як необурений стан $n^0$ повинен бути нормований, відразу слід

$\lambda ⟨n^0|n^1⟩+{\lambda }^2⟨n^0|n^2⟩+{\lambda }^3⟨n^0|n^3⟩+\dots =0$

і з цього

$⟨n^0|n^k⟩={\delta }_{0k}.$

Отримуємо поправку в першому порядку

$E_n^1=⟨n^0|H_1|n^0⟩,$

$|n^1⟩=\sum _{m\ne n}\frac{⟨m^0|H_1|n^0⟩}{E_n^0-E_m^0}|m^0⟩,$

і для поправки енергії в другому порядку

$E_n^2=\sum _{m\ne n}\frac{|⟨m^0|H_1|n^0⟩{|}^2}{E_n^0-E_m^0}.$