Статичний момент плоскої фігури

Файл:Статичний момент площі.png

Статичний момент плоскої фігури у декартовій системі координат

Стати́чний моме́нт пло́скої фігу́ри (Шаблон:Lang-en) відносно довільно обраної осі — геометрична характеристика, що дорівнює сумі добутків площ елементарних поверхонь плоскої фігури A_i та їх відстаней r_i від осі, або просто добуток площі фігури A і відстані r₀ від осі до центру мас цієї фігури.

$\sum _{i=1}^n{A}_i\cdot r_i=r_0\cdot A$

Розглянемо переріз у довільній декартовій прямокутній системі координат XOY. Виберемо елемент площі dA. Тоді величина

$S_x=\underset{A}{\int }ydA$

буде називатися статичним моментом площі A відносно осі X.

Аналогічно $S_y=\underset{A}{\int }xdA$ — статичний момент цієї площі відносно осі Y.

Розмірність статичного моменту плоскої фігури — одиниці довжини в третьому степені (м³, см³). Статичний момент може бути додатнім, від'ємним і дорівнювати нулю. На основі викладеного вище, можна записати рівняння для визначення координат центру тяжіння (ваги) C плоскої фігури:

$x_0=\frac{S_y}{A}$

$y_0=\frac{S_x}{A}$.

З цих формул випливає: якщо відносно певної осі статичний момент дорівнює 0, ця вісь є центральною (тобто вона проходить через центр тяжіння).

Для обчислення статичних моментів складної фігури її розбивають на простіші частини. При цьому загальний статичний момент буде дорівнювати алгебраїчній сумі статичних моментів окремих частин фігури відносно тієї самої осі:

$S_x=A_1\cdot y_1+A_2\cdot y_2+...+A_n\cdot y_n=\sum _{i=1}^n{A}_i\cdot y_i$

$S_y=A_1\cdot x_1+A_2\cdot x_2+...+A_n\cdot x_n=\sum _{i=1}^n{A}_i\cdot x_i$.

Див. також

• Моменти інерції плоских перерізів
• Полярний момент інерції

Джерела

• Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993 .- 655 с. ISBN 5-11-004083-4
• Мильніков О.В. Опір матеріалів. Конспект лекцій. Шаблон:Webarchive − Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. − 257 с.

Посилання

• Статичний момент перерізу Шаблон:Webarchive