Статистика Петуніна

Шаблон:Експерт Статистика Петуніна (p-статистика) — міра близькості між вибірками, запропонована українським математиком Юрій Петуніним. Використовується для перевірки гіпотези про рівність функцій розподілу двох вибірок.

Розглянемо дві генеральні сукупності $G$ та $G^{\prime }$ та відповідні функції розподілу $F_G$ та $F_{G^{\prime }}$. Нехай $x=(x_1,x_2,...,x_n)\in G$ та $x=({x^{\prime }}_1,{x^{\prime }}_2,...,{x^{\prime }}_m)\in G^{\prime }$, а $x_{(1)}\le x_{(2)}\le ...\le x_{(n)}$ та ${x^{\prime }}_{(1)}\le {x^{\prime }}_{(2)}\le ...\le {x^{\prime }}_{(m)}$ — відповідні порядкові статистики. Припустимо, що $F_G(u)=F_{G^{\prime }}(u)$, тоді

$p(A_{ij})=P({x^{\prime }}_k\in (x_{(i)},x_{(j)}))=p_{ij}=\frac{j-i}{n+1}$.

Якщо маємо вибірку $x^{\prime }\in ({x^{\prime }}_{(1)},{x^{\prime }}_{(2)},...,{x^{\prime }}_{(m)})$, можемо знайти частоту $h_{ij}$ випадкові події $A_{ij}$ та довірчі інтервали $(p_{ij}^{(1)},p_{ij}^{(2)})$ для ймовірності $p_{ij}$ при заданому рівні значущості $\beta$, тобто $B=\{p_{ij}\in (p_{ij}^{(1)},p_{ij}^{(2)})\},p(B)=1-\beta$. Згідно з

$p_{ij}^{(1)}=\frac{h_{ij}m+\frac{g^2}{2}-g\sqrt{h_{ij}(1-h_{ij})m+\frac{g^2}{4}}}{m+g^2}$

$p_{ij}^{(2)}=\frac{h_{ij}m+\frac{g^2}{2}+g\sqrt{h_{ij}(1-h_{ij})m+\frac{g^2}{4}}}{m+g^2}$

,

де $g$ задовольняє умову $\varphi (g)=1-\frac{\beta }{2}$ ($\varphi (g)$ — щільність нормального розподілу). Згідно з покладемо $g=3$.

Позначимо через $N$ всі довірчі інтервали $I_{ij}=(p_{ij}^{(1)},p_{ij}^{(2)})$ ($N=\frac{n(n-1)}{2}$) та $L$ — число інтервалів $I_{ij}$, які містять ймовірність $p_{ij}$, тобто $p_{ij}\in I_{ij}$. Покладемо

$h=\rho (x,x^{\prime })=\frac{L}{N}$

Статистика $h$ називається p-статистикою (статистикою Петуніна), вона є мірою близькості $\rho (x,x^{\prime })$ між вибірками $x$ та $x^{\prime }$.

Джерела

• Клюшин Д. А., Петунин Ю. И. Непараметрический критерий эквивалентности генеральных совокупностей, основанный на мере близости между выборками // Український математичний журнал. — 2003. — т.55, № 2. — С.147-163. Шаблон:Ref-ru