Незалежність (теорія ймовірностей)

Шаблон:Основи теорії ймовірностей У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює імовірність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називають незалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої.

Незалежні події

Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$.

Означення 1. Дві події $A,B\in ℱ$ називають незалежними, якщо

$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cdot \mathbb{P}(B)$.

Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажімо $B$, ненульова, тобто $\mathbb{P}(B)>0$, визначення незалежності еквівалентне:

$\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A)$,

тобто умовна ймовірність події $A$ за умови $B$ дорівнює безумовній імовірності події $A$.

Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій $\{A_i{\}}_{i\in I}\subset ℱ$, де $I$ — довільна індексна множина. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто

$\mathbb{P}(A_i\cap A_j)=\mathbb{P}(A_i)\cdot \mathbb{P}(A_j),\mathrm{\forall }i=j$.

Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій $\{A_i{\}}_{i\in I}\subset ℱ$. Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій $\{A_{i_k}{\}}_{k=1}^N$ вірно:

$\mathbb{P}(A_{i_1}\cap \dots \cap A_{i_n})=\mathbb{P}(A_{i_1})\dots \mathbb{P}(A_{i_n})$.

Приклад 1. Монета кидається двічі. Ймовірність появи герба в першому випробуванні не залежить від появи чи відсутності герба в другому випробуванні. В свою чергу, ймовірність того, що герб випаде в другому випробуванні не залежить від результатів першого випробування. Отже, події А — «поява герба в першому випробуванні» і В — «поява герба в другому випробуванні» — незалежні.

Приклад 2. В урні 5 білих і 4 чорних кульки. Із неї навмання беруть кульку. Ймовірність появи білої кульки (подія А) дорівнює $\frac{5}{9}$. Взяту кульку повертають в урну і продовжують випробування. Ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні (подія В), також дорівнює $\frac{5}{9}$. В свою чергу, ймовірність витягти білу кульку при першому випробуванні, не залежить від другого випробування. Отже, події А і В — незалежні.

Приклад 3. Хай кинуто три урівноважені монети. Визначимо події таким чином:

• $A_1$: монети 1 і 2 впали однією і тією ж стороною;
• $A_2$: монети 2 і 3 впали однією і тією ж стороною;
• $A_3$: монети 1 і 3 впали однією і тією ж стороною;

залежні, бо знаючи, наприклад, що події $A_1,A_2$ сталися, ми знаємо точно, що $A_3$ також сталося.

Те що три і більше події попарно незалежні, не означає, що вони незалежні в сукупності. Дивіться приклад Бернштейна.

Незалежні σ-алгебри

Означення 4. Нехай ${𝒜}_1,{𝒜}_2\subset ℱ$ дві сигма-алгебри на одному і тому ж ймовірнісному просторі. Вони називаються незалежними, якщо будь-які їх представники незалежні між собою, тобто:

$\mathbb{P}(A_1\cap A_2)=\mathbb{P}(A_1)\cdot \mathbb{P}(A_2),\mathrm{\forall }{A}_1\in {𝒜}_1,A_2\in {𝒜}_2$.

Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.

Спадкова незалежність

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо $\xi$ та $\eta$ - незалежні випадкові величини, а $f(\cdot ),g(\cdot )$ - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень $\xi$ та $\eta$ відповідно, то $f(\xi )$ та $g(\eta )$ - незалежні випадкові величини.

• Нехай ${\mathbb{P}}^{X,y}$ - розподіл випадкового вектора $(X,y)$, ${\mathbb{P}}^X$ - розподіл $X$ і ${\mathbb{P}}^Y$ - розподіл $Y$. Тоді $X,Y$ незалежними тоді і лише тоді, коли

${\mathbb{P}}^{X,y}={\mathbb{P}}^X\otimes {\mathbb{P}}^Y$,

де $\otimes$ позначає (прямий) добуток мір;

• Нехай $F_{X,y},F_x,F_y$ - кумулятивні функції розподілу $(X,y),X,Y$ відповідно. Тоді $X,Y$ незалежні тоді і лише тоді, коли

$F_{X,y}(x,y)=F_x(x)\cdot F_y(y)$;

• Нехай випадкові величини $X,Y$ дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\mathbb{P}(X=i)\cdot \mathbb{P}(Y=j)$.

• Нехай випадкові величини $X,Y$ спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність $f_{X,Y}(x,y)$. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y),\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2$,

де $f_X(x),f_Y(y)$ - щільність випадкових величин $X$ і $Y$ відповідно.

Див. також

• Незалежні однаково розподілені випадкові величини

Джерела

• Шаблон:Гнєденко.Курс теорії ймовірностей
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко