Кватерніони

таблиця множення

	i	j	k
i	−1	k	−j
j	-k	−1	i
k	j	-i	−1

Кватерніо́н  — чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нуля. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році.

Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.

Означення

Загальне означення

Кватерніони можна означити як суму

$q=a+bi+cj+dk,$

де $a,b,c,d$  — дійсні числа; $i,j,k$  — уявні одиниці, які справджують співвідношення:

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1,$

з яких випливають ще й такі співвідношення:

$\begin{array}{ccccc}ij& =& -ji& =& k,\\ jk& =& -kj& =& i,\\ ki& =& -ik& =& j.\end{array}$

Часто замість $i,j,k$ використовують позначення для уявних одиниць відповідно $i_1,i_2,i_3,$ а також покладають $i_0:=1.$

Ще один, зрідка вживаний, варіант позначень: $e_0,e_1,e_2,e_3.$

Означення через вектор і скаляр

Кватерніон представляє собою пару $(a,\overrightarrow{u})$, де $\overrightarrow{u}$ — вектор тривимірного простору , а $a$ — скаляр, тобто дійсне число.

Через комплексні числа

Довільний кватерніон $q=a+bi+cj+dk$ можна представити як пару комплексних чисел у вигляді $q=(a+bi)+(c+di)j$.

Це еквівалентно $q=z_1+z_{2}j$, де $z_1=a+bi$,$z_2=c+di$ ( тобто $z_1,z_2$ — комплексні числа , оскільки $i^2=-1,k=ij$)

Через дійсні матриці

Кватерніони також можна визначити як матрицю такого вигляду:

$\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}& \begin{array}{cc}-c& -d\\ -d& c\end{array}\\ \begin{array}{cc}c& d\\ d& -c\end{array}& \begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\end{array}\right)$

Через комплексні матриці

Альтернативно, кватерніони можна визначити як комплексні матриці такого вигляду

$\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+bi& c+di\\ -c+di& a-bi\end{array}\right)$,

де $\overline{\alpha },\overline{\beta }$ є комплексно-спряженими числами до $\alpha ,\beta$.

Пов'язані означення

• Для кватерніона $q=a+bi+cj+dk$,

дійсне число $a$ називають скалярною частиною кватерніона, $\overrightarrow{v}=bi+cj+dk$  — його векторною частиною.

Якщо $\overrightarrow{v}=0$, то кватерніон називається чисто скалярним, при $a=0$ — чисто векторним.

• Кватерніон $\overline{q}=a-bi-cj-dk$ називають спряженим до $q$.

• $\overline{q_1{q}_2}=\overline{q_2}\overline{q_1}$

• Як і для комплексних чисел, норма кватерніона визначають як $|q|=\sqrt{q\overline{q}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.$

• $q^{-1}=\frac{\overline{q}}{|q{|}^2}$

Легко перевірити, що $|p\cdot q|=|p|\cdot |q|$, тобто кватерніони мають мультиплікативну норму; із цього співвідношення випливає так звана тотожність чотирьох квадратів.

Якщо $|q|=1,$ то $q$ називають одиничним кватерніоном

Алгебраїчні властивості

Виходячи з вищенаведених властивостей уявних одиниць, можна отримати такі властивості:

• додавання кватерніонів є асоціативним та комутативним,
• множення кватерніонів є асоціативним, але не є комутативним.

Із некомутативності множення випливає, що система кватерніонів не є полем. Проте вона є тілом і, таким чином, не містить дільників нуля. Тіло кватерніонів зазвичай позначається $ℍ$. Сказане вище свідчить про здійсненність ділення в системі кватерніонів, але слід розрізняти ліве та праве ділення.

Чотири базисних кватерніони і чотири протилежних їм за знаком кватерніони утворюють групу кватерніонів по множенню (з порядком 8). Тобто $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$

Детальніше про векторне представлення

Оскільки кватерніон $𝐪=a+bi+cj+dk$ можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора:

$𝐪=(s,\overrightarrow{v}),s=a,\overrightarrow{v}=(b,c,d)$.

Виявляється, що множення кватерніонів можна записати через скалярний та векторний добутки відповідних 3-вимірних векторів:

${𝐪}_{\mathrm{𝟏}}{𝐪}_{\mathrm{𝟐}}=(s_1,\overrightarrow{v_1})(s_2,\overrightarrow{v_2})=(s_1{s}_2-\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2},s_1\overrightarrow{v_2}+s_2\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}).$

При такому підході чисто векторні кватерніони можна ототожнити з 3-вимірними векторами. Тоді добуток двох таких кватерніонів можна отримати, віднявши від їх векторного добутку їх скалярний добуток:

$(0,\overrightarrow{v_1})(0,\overrightarrow{v_2})=(-\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_1}\times \overrightarrow{v_2}).$

Піднесення до степеня

Рівність

$e^{\overrightarrow{v}\phi }=\cos \phi +\overrightarrow{v}\cdot \sin \phi$

доводиться подібно до формули Ейлера зіставленням рядів Тейлора з обох боків.

Запишемо кватерніон у векторній (тригонометричній) формі

$q=|q|(\cos \phi +\overrightarrow{v}\cdot \sin \phi )=|q|e^{\overrightarrow{v}\phi },|\overrightarrow{v}|=1.$

• Натуральний степінь:

$q^2=|q{|}^2({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi +2\overrightarrow{v}\cos \phi \sin \phi )=|q{|}^2(\cos 2\phi +\overrightarrow{v}\sin 2\phi ).$

Використавши математичну індукцію отримаємо:

$q^n=|q{|}^n(\cos n\phi +\overrightarrow{v}\sin n\phi ),n\in \mathbb{N}.$

• Дійсний степінь:

$\ln (q)=\ln (|q|e^{\overrightarrow{v}\phi })=\ln |q|+\overrightarrow{v}\phi .$

$q^a={\left(e^{\ln (q)}\right)}^a={\left(e^{\ln |q|+\overrightarrow{v}\phi }\right)}^a={(|q|e^{\overrightarrow{v}\phi })}^a=|q{|}^a{e}^{\overrightarrow{v}\phi \cdot a}=|q{|}^a(\cos a\phi +\overrightarrow{v}\sin a\phi ).$

Піднесення кватерніона до дійсного степеня застосовується для інтерполяції поворотів з постійною кутовою швидкістю.

Комплексні кватерніони

Іноді означені в цій статті кватерніони називають дійсними кватерніонами, розглядаючи також комплексні кватерніони, означення яких відрізняється від наведеного лише тим, що $a,b,c,d$ — комплексні числа. При цьому комплексна одиниця $i$ не ототожнюється з кватерніонною одиницею $i,$ так що їх доводиться позначати по-різному (наприклад, із використанням наведених вище альтернативних позначень або виділяючи кватерніонні одиниці жирним шрифтом).

Історія

Пам'ятна табличка на мосту Брум Бридж в Дубліні: «Тут на прогулянці, 16 жовтня 1843 року, осяяний генієм, сер Вільям Ровен Гамільтон відкрив формулу множення кватерніонів» Шаблон:Math

Бурхливий і надзвичайно плідний розвиток комплексного аналізу в XIX столітті стимулював у математиків інтерес до наступної задачі: знайти новий вид чисел, аналогічний за властивостями комплексним, що містить не одну, а дві уявні одиниці. Передбачалося, що така модель буде корисна для розв'язання просторових задач математичної фізики. Проте зусилля в цьому напрямку виявилася безуспішними.

1843 року новий тип чисел виявив ірландський математик Вільям Ровен Гамільтон. Ці числа містили не дві уявні одиниці, як очікувалося, а три. Гамільтон назвав ці числа кватерніонами. Історики науки також виявили начерки по цій темі в неопублікованих рукописах Гаусса 1819—1820 років.
Модель досить швидко принесла практичну користь. Пізніше на основі алгебри кватерніонів Ґіббс та Гевісайд створили тривимірний векторний аналіз.

Сучасне використання

У XX столітті намагалися використовувати кватерніонні моделі у квантовій механіці й теорії відносності. Реальне застосування кватерніони знайшли в комп'ютерній графіці й програмуванні ігор, а також в обчислювальній механіці, в інерціальній навігації й теорії управління. У багатьох галузях було знайдено більш загальні й практичні засоби, ніж кватерніони. Наприклад, для дослідження рухів у просторі найчастіше застосовують матричне числення. Однак там, де важливо описувати тривимірний поворот за допомогою мінімальної кількості скалярних параметрів, застосування параметрів Родріго — Гамільтона (тобто, чотирьох компонент кватерніона повороту) часто виявляється кращим: такий опис ніколи не вироджується, тоді як опис поворотів трьома параметрами (наприклад, кутами Ейлера) завжди має критичні значення цих параметрів.

Див. також

• Кватерніон Гурвіца

Джерела

• Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.