Слово (теорія груп)

Матеріал з testwiki
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії груп слово — скінченна послідовність, яка для кожного її елемента може також містити обернений до нього.

Слова використовуються при заданні груп, а також належать до центральних об'єктів у комбінаторній теорії груп.

Означення

Нехай S={si∣i∈I} — непорожня множина символів, проіндексована елементами з Шаблон:Mvar. Будемо називати цю множину алфавітом, а її елементи — буквами. Через Шаблон:Math позначимо множину {si−1∣i∈I}.

Груповим словом в алфавіті Шаблон:Mvar називається або порожня, або скінченна послідовність букв із S∪S−1.

Запис слів

Для скорочення запису групового слова можна використовувати піднесення до степеня. Наприклад, слово

xxy−1zyzzzx−1x−1

можна переписати як

x2y−1zyz3x−2.

Отриманий вираз не є власне словом в заданому алфавіті {x,y,z}, а коротшим записом початкового слова.

При роботі з довгими словами також може бути корисним використання надрядкової риски для позначення обернених елементів. Наведене вище слово з використанням цього позначення записуєтьмя так:

x2y‾zyz3x‾2.

Скорочення слів

Слово називається нескоротним, якщо воно або пусте, або в ньому не містяться поруч символи sik та si−k, де k=±1. Інакше, воно називається скоротним.

Для кожного скоротного слова існує єдине нескоротне слово, до якого його можна звести, тобто скоротити. Наприклад,

y−1zxx−1y⟶y−1zy.

Два слова називають сусідніми, якщо одне з них дорівнює x1…xjxj+1…xn, а інше — x1…xjsiksi−kxj+1…xn, де xi∈S∪S−1 та k=±1.

Операції над словами

Приписуванням (або добутком) двох слів u=x1x2…xn та v=y1y2…ym, де xi,yj∈S∪S−1, називається слово x1x2…xny1y2…ym, яке позначається через uv.

Наприклад,

(xzyz−1)(zy−1x−1y)=xzyz−1zy−1x−1y.

Звідси результатом приписування двох нескоротних слів може бути скоротне слово.

Оберненим словом до слова w=z1z2…zr, де zi∈S∪S−1, називається слово zr−1…z2−1z1−1, яке позначається через w−1, причому (si−1)−1=si.

Наприклад,

(zy−1x−1y)−1=y−1xyz−1.

Еквівалентні слова

Два слова Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar називаються еквівалентними, якщо для них можна побудувати таку скінченну послідовність слів w1,w2,…,wd, що w1=u, wd=v, а wi та wi+1 є сусідніми словами при i=1,…,d−1. Позначення: u∼v.

Можна показати, що задане відношення ∼ є відношенням еквівалентності. Причому кожен клас еквівалентності за цим відношенням містить тільки одне нескоротне слово.

Вільна група

Шаблон:Main Нехай F(S)={[u]∣u — слово в алфавіті S}. На цій множині можна визначити операцію приписування (або добутку): Шаблон:Center

Можна довести, що F(S) разом із заданою на ній вище операцією утворює групу. Ця група називається вільною з системою твірних Шаблон:Mvar, а потужність Шаблон:Mvar називається її рангом.

Література

Шаблон:Портали

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Слово_(теорія_груп)&oldid=10911