Складано-ножева перевибірка

У статистиці склада́но-ножева́ переви́бірка (Шаблон:Lang-en) — це методика Шаблон:Нп, особливо корисна для оцінки дисперсії та зсуву. Складано-ножевий метод передував іншим звичним методам перевибірки, таким як натяжковий. Складано-ножеву оцінку параметра знаходять послідовним винятком кожного зі спостережень з набору даних і обчисленням оцінки без нього, з наступним усередненням всіх таких оцінок. Для заданої вибірки розміру $N$ складано-ножеву оцінку знаходять обчисленням середнього значення всіх підвибірок розміру $N-1$.

Складано-ножеву методику розробив Моріс Кенуй (Шаблон:Lang-fr) у 1949 та 1956 роках. Джон Тьюкі 1958 року розширив цю методику та запропонував назву «складано-ножева» (Шаблон:Lang-en), оскільки, як і реальний складаний ніж, вона є простим та доступним інструментом, який може зімпровізувати розв'язок для широкого ряду задач, хоча конкретні задачі й може бути розв'язано ефективніше за допомогою інструментів, розроблених спеціально для них.Шаблон:Sfn

Складано-ножева перевибірка є лінійним наближенням натяжкової.Шаблон:Sfn

Оцінка

Складано-ножеву оцінку параметра для знаходження його попередньо невідомого значення (скажімо, ${\overline{x}}_i$) можна знаходити оцінкою цього параметра для кожної з підвибірок за винятком i-того спостереження.Шаблон:Sfn

${\overline{x}}_i=\frac{1}{n-1}\sum _{j\ne i}^n{x}_j$

Оцінка дисперсії

Із застосуванням складано-ножевої методики можна обчислювати оцінку дисперсії оцінки параметра.

${\mathrm{Var}}_{\mathrm{(}\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{k}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{)}}=\frac{n-1}{n}\sum _{i=1}^n({\overline{x}}_i-{\overline{x}}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}{)}^2$

де ${\overline{x}}_i$ є оцінкою параметра на основі виключення i-того спостереження, а ${\overline{x}}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}=\frac{1}{n}\sum _i^n{\overline{x}}_i$ є оцінкою на основі усіх підвибірок.Шаблон:Sfn

Оцінка та виправлення зсуву

Складано-ножеву методику можна застосовувати для оцінювання зсуву оцінки, розрахованої над усією вибіркою. Скажімо, $\hat{\theta }$ є обчисленою оцінкою досліджуваного параметра на основі всіх $n$ спостережень. Нехай

${\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{)}}$

де ${\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{)}}$ є досліджуваною оцінкою на основі вибірки з усуненим i-тим спостереженням, а ${\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}$ є усередненням цих оцінок «за виключенням одного». Складано-ножева оцінка зсуву оцінки $\hat{\theta }$ задається як

${\widehat{\text{Bias}}}_{\mathrm{(}\mathrm{\theta }\mathrm{)}}=(n-1)({\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}-\hat{\theta })$

а результатна складано-ножева оцінка $\theta$ з виправленим зсувом задається як

${\hat{\theta }}_{\text{Jack}}=n\hat{\theta }-(n-1){\hat{\theta }}_{\mathrm{(}\mathrm{.}\mathrm{)}}$

Це усуває зсув в особливому випадку, коли зсув є $O(N^{-1})$, і до $O(N^{-2})$ в інших випадках.Шаблон:Sfn

Це забезпечує оцінку виправлення зсуву, спричиненого методом оцінки. Зсунуту вибірку складано-ножева методика не виправляє.

Література

• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite journal. Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:Cite book Шаблон:Ref-ru