Скелетний розклад матриці

Розклад матриці $A^{m\times n}=B^{m\times r}\cdot C^{r\times n}$

Скелетний розклад матриці (Шаблон:Lang-en) — представлення матриці $A$ розміру $m\times n$ і рангу $r(r\le \min (m,n))$ у вигляді добутку матриць $B$ та $C$ розмірів відповідно $m\times r$ та $r\times n$.

$A=BC(A\in {𝔽}^{m\times n},B\in {𝔽}^{m\times r},C\in {𝔽}^{r\times n})$.

Існування

Оскільки $r$ ранг матриці $A$, то він є і рангом векторного простору її вектор-стовпців. Тоді візьмемо за базис цього простору перші $r$ лінійно-незалежних стовпців матриці $A$. Вони і складуть матрицю $B$.

А оскільки всі стовпці матриці $A$ лінійно виражаються через ці стовпці (тобто матрицю $B$), то коефіцієнти розкладу і утворять матрицю $C$.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць