Система числення Фібоначчі

Система числення Фібоначчі — змішана система числення для цілих чисел на основі чисел Фібоначчі $F_2=1$, $F_3=2$, $F_4=3$, $F_5=5$, $F_6=8$ і т. д.

Число	Запис у Шаблон:Comment	код Фібоначчі
0	0……0
F2=1	1	11
F3=2	10	011
F4=3	100	0011
4	101	1011
F5=5	1000	00011
6	1001	10011
7	1010	01011
F6=8	10000	000011
…
Fn − 1	101010…	…0101011
Fn	10……00	00……011
Fn + 1	10……01	10……011

Подання натуральних чисел

Будь-яке невід'ємне ціле число $a$ можна єдиним чином подати послідовністю бітів $\dots {\epsilon }_k\dots {\epsilon }_4{\epsilon }_3{\epsilon }_2$ (${\epsilon }_k\in \{0,1\}$) так що $a=\sum _k{\epsilon }_k{F}_k$, причому послідовність $\{{\epsilon }_k\}$ містить лише скінченне число одиниць, і не має пар сусідніх одиниць: $\mathrm{\forall }k\ge 2:({\epsilon }_k=1)\Rightarrow ({\epsilon }_{k+1}=0)$. За винятком останньої властивості, дане подання аналогічне двійковій системі числення .

Обґрунтування

В основі лежить теорема Цекендорфа: будь-яке невід'ємне ціле число можна єдиним чином подати у вигляді суми деякого набору чисел Фібоначчі з індексами більшими від одиниці, який не містить пар сусідніх чисел Фібоначчі.

Доведення існування легко провести за індукцією. Будь-яке ціле число $a\ge 1$ потрапить у проміжок між двома сусідніми числами Фібоначчі, тобто для деякого $n\ge 2$ виконується нерівність: $F_n\le a<F_{n+1}$ . Таким чином, $a=F_n+a^{\prime }$, де $a^{\prime }=a-F_n<F_{n-1}$, Так що розкладання числа $a^{\prime }$ вже не буде містити доданка $F_{n-1}$.

Використання

Юпана

Юпана

Припускають, що деякі різновиди юпани (абака інків) використовували систему числення Фібоначчі, щоб мінімізувати необхідне для обчислень число зерен.

У теорії інформації

На основі системи числення Фібоначчі будується код (кодування) Фібоначчі — Шаблон:Нп для натуральних чисел (1, Шаблон:Nbsp 2, Шаблон:Nbsp 3 …), який використовує послідовності бітів. Оскільки комбінація Шаблон:Nbsp 11 заборонена в системі числення Фібоначчі, її можна використовувати як маркер кінця запису.

Для складання коду Фібоначчі за записом числа в системі числення Фібоначчі слід переписати цифри у зворотному порядку (так, що старша одиниця виявляється останнім символом) і приписати в кінці ще раз Шаблон:Nbsp 1 (див. таблицю). Тобто, кодова послідовність має вигляд:

ε₂ε₃…ε_n1,

де n — номер найстаршого розряду з одиницею.

Арифметика

Додавання чисел у позиційних системах числення виконується з використанням переносу, що дозволяє усувати наслідки переповнення розряду. Наприклад, у двійковій системі: 01 + 01 = 02 = 10.

У системі числення Фібоначчі ситуація складніша:

• По-перше, вага старших розрядів не є кратною вазі розряду, з якого виконується перенесення. При додаванні двох одиниць в одному розряді потрібне перенесення не тільки вліво, але й управо: 0200 = 1001. При перенесенні у відсутні розряди ε₁ і ε₀ слід пам'ятати, що F₁=1=F₂ і F₀=0.
• По-друге, потрібно позбавлятися від сусідніх одиниць: 011 = 100. Правило для розкриття двійок є наслідком цієї рівності: 0200 = 0100 + 0011 = 0111 = 1001.

Узагальнення на дійсні числа

Число	Подання через степінь Шаблон:Nbsp$\phi$
1	1
2	10,01
3	100,01
4	101,01
5	1000,1001
6	1010,0001
7	10000,0001
8	10001,0001
9	10010,0101
10	10100,0101
11	10101,0101
12	100000,101001
13	100010,001001
14	100100,001001

Схоже влаштована позиційна система числення з ірраціональною основою, рівною золотому перетину $\phi =(1+\sqrt{5})/2$.

Будь-яке дійсне число $x$ з відрізка $[0,1]$ допускає розкладання в ряд через від'ємні степені золотого перетину:

$x=\sum _{k=-1}^{-\mathrm{\infty }}{\epsilon }_k{\phi }^k,{\epsilon }_k\in \{0,1\}$

де $\left\{{\epsilon }_k\right\}$ має ту ж властивість відсутності сусідніх одиниць. Коефіцієнти знаходяться послідовним порівнянням $x$ з ${\phi }^{-1}$ — золотим перетином відрізка $[0,1]$, відніманням ${\phi }^{-1}$ (якщо ${\epsilon }_k=1$) і множенням на $\phi$. З цього неважко бачити, що будь-яке невід'ємне дійсне число допускає розкладання:

$a=\sum _{k=N-1}^{-\mathrm{\infty }}{\epsilon }_k{\phi }^k,$

де Шаблон:Math таке, що $a<{\phi }^N$. Зрозуміло, слід вважати, що ${\epsilon }_k=0$ для всіх $k⩾N$.

Ці формули повністю аналогічні формулам для звичайних позиційних систем з цілими основами. Виявляється, що будь-яке невід'ємне ціле число (і, більш загально, кожен невід'ємний елемент кільця $\mathbb{Z}+\phi \mathbb{Z}$) має подання лише зі скінченною кількістю одиниць, тобто у вигляді скінченної суми неповторюваних степенів золотого перетину.

Аналогія між числами Фібоначчі і степенями золотого перетину заснована на однаковій формі тотожностей:

$F_k=F_{k-1}+F_{k-2}$

${\phi }^k={\phi }^{k-1}+{\phi }^{k-2}$

які дозволяють усунення сусідніх одиниць. Прямого зв'язку між поданням натуральних чисел в системі золотого перетину і в системі Фібоначчі немає.

Правила додавання аналогічні показаним вище з тією поправкою, що перенесення в бік молодших розрядів поширюється без обмеження. У даній системі числення можна виконувати й множення.

Множення Фібоначчі

Для цілих чисел $a=\sum _k{\epsilon }_k{F}_k$ і $b=\sum _l{\zeta }_l{F}_l$ можна визначити «множення»

$a\circ b=\sum _{k,l}{\epsilon }_k{\zeta }_l{F}_{k+l},$

аналогічне множенню чисел у двійковій системі числення.

Зрозуміло, що дана операція не є справжнім множенням чисел, і виражається формулою:

$a\circ b=3ab-a\lfloor (b+1){\phi }^{-2}\rfloor -b\lfloor (a+1){\phi }^{-2}\rfloor ,$

де $\lfloor \cdot \rfloor$ — ціла частина, $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотий перетин .

Ця операція має асоціативність, що вперше зауважив Дональд Кнут. Слід зазначити, що інше «множення» $\sum _{k,l}{\epsilon }_k{\zeta }_l{F}_{k+l-2},$ відрізняється лише зсувом на два розряди, вже не є асоціативним.

Література

• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-ru

• Шаблон:СтаттяШаблон:Ref-ru