Синтетичний контроль

Порівняння реального добробуту жителів ФРН після об'єднання з НДР у 1990 та гіпотетичного, якби об'єднання не відбулося, з опорою на дані інших країн ОЕСР.

Синтетичний контроль (Шаблон:Lang-en, SCM) — економетричний метод аналізу даних у рамках Шаблон:Iw, що дозволяє проводити Шаблон:Iw в порівняльних кейс-стаді. Метод спрямований на оцінення результатів досліджуваного впливу (наприклад, економічної реформи) на прикладі невеликої кількості кейсів за допомогою моделювання їхніх кількісних показників у гіпотетичній ситуації, де впливу не було, на основі обмеженого кола схожих контрольних спостережень за допомогою присвоєння цим змінним певних ваг.

Формальне виведення

Розглянемо $i$-й регіон, або якийсь інший об'єкт спостереження, причому $i=1,\dots ,J+1$, де $J+1$ — число регіонів, серед яких 1 зазнав досліджуваної дії, а інші $J$ — ні і є контрольною групою (їх сукупність називають «пулом донорів», Шаблон:Lang-en), за період часу $t$, де $t=1,\dots ,T$.

Нехай досліджувана дія відбулася в період

$T_0+1$

, де

$1\le T_0<T$

, і тоді

$T_0$

 — число періодів до дії. Позначимо відгук показника в регіоні

$i$

в період часу

$t$

за відсутності досліджуваної дії через

$Y_{it}^N$

, а за її наявності —

$Y_{it}^I$

. Припустимо, що за

$t=1\dots T_0$

,

$Y_{it}^N=Y_{it}^I$

: до настання досліджуваної дії, вона не впливає на відгук у вибраному регіоні. Також припустимо, що дія, яка мала місце в розглянутому регіоні, не впливає на регіони з контрольної групи. Ефект досліджуваної дії позначимо як

$a_{it}=Y_{it}^I-Y_{it}^N$

. Оскільки дія має місце тільки в

$i=1$

і

$t>T_0$

, метою синтетичного контролю є визначення

$a_{1t}=Y_{1t}^I-Y_{1t}^N$

, де

$Y_{1t}^I=Y_{1t}$

 — власне, показник, що спостерігається в розглянутому регіоні, а

$Y_{1t}^N$

 — неспостережуваний відгук, який можна подати як таку факторну модель:

$Y_{it}^N={\delta }_t+{\mathit{\theta }}_t{𝐙}_i+{\mathit{\lambda }}_t{\mathit{\mu }}_i+{ϵ}_{it},$

де

${\delta }_t$

 — загальний для всіх регіонів фактор,

${𝐙}_i$

 — вектор спостережуваних, незалежних від дії коваріат,

${\mathit{\theta }}_t$

 — вектор їхніх оцінених для даної вибірки регіонів коефіцієнтів,

${\mathit{\lambda }}_t$

 — вектор неспостережуваних латентних факторів,

${\mathit{\mu }}_i$

 — вектор відповідних їм факторних навантажень і

${ϵ}_{it}$

 — специфічності, або шум. Цю модель можна переписати у вигляді:

$\sum _j{w}_j{Y}_{it}^N={\delta }_t+{\mathit{\theta }}_t\sum _j{w}_j{𝐙}_i+{\mathit{\lambda }}_t\sum _j{w}_j{\mathit{\mu }}_i+\sum _j{w}_j{ϵ}_{it},$

де

$w_j$

 — це

$j$

-те значення вектора

$𝐖=(w_2,\dots ,w_{J+1}{)}^{\prime }$

, такого, що

$\mathrm{\forall }j:w_j>0\wedge \sum _j{w}_j=1$

. Метод синтетичного контролю полягає у підборі такого набору ваг

$({\tilde{w}}_2,\dots ,{\tilde{w}}_{J+1}{)}^{\prime }$

, що за

$t\le T_0$

,

$\sum _j{\tilde{w}}_j{Y}_{jt}=Y_{jt}$

(тобто до дії ваги зберігають спостережуване значення відгуку незмінним) і

$\sum _j{\tilde{w}}_j{𝐙}_j={𝐙}_1$

(і при цьому ці ваги дозволяють точно моделювати коваріати регіону, що розглядається, через кваріати регіонів контрольної групи). У літературі показано, що, якщо відхилення специфічностей

${ϵ}_{it}$

незначні за даного

$T_0$

, розміру періоду до дії,

$Y_{1t}^N-\sum _j{w}_j{Y}_{it}\to 0$

, тобто різниця між модельованим, неспостережуваним відгуком без дії і зваженим, але спостережуваним за його присутності, в таких умовах мізерна. Відповідно, пропонується така оцінка ефекту дії (

$a_{it}=Y_{it}^I-Y_{it}^N$

)Шаблон:Rp:

${\hat{a}}_{1t}=Y_{1t}-\sum _j{\tilde{w}}_j{Y}_{jt}$

Оптимізація алгоритму

З обчислювальної точки зору, розрахунок шуканих ваг пов'язаний із мінімізацією за вектором ваг $𝐖$ норми $\Vert {𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖\Vert$, де ${𝐗}_1$ — вектор значень коваріатів для досліджуваного регіону до моменту $T_0+1$, а ${𝐗}_0$ — матриця значень коваріатів для контрольних регіонів. Незалежно від вибору дослідником додатноозначеної матриці $𝐕$, оптимізована норма розкривається як $\Vert {𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖{\Vert }_{𝐕}=\sqrt{({𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖{)}^{\prime }𝐕({𝐗}_1-{𝐗}_0𝐖)}$Шаблон:Rp.

Для того, щоб отримати кінцеве значення $𝐕$, проводять зовнішню оптимізацію за параметром $𝐕$ з використанням коефіцієнта дисконтування $\beta$, що підвищує вагу недавніх спостережень Цю оптимізацію можна описати так: $\sum _{t=1}^T{\beta }^{T-t}{(Y_{1t}-\sum _{j=2}^{J+1}{\tilde{W}}_j(V)Y_{jt})}^2\to min$, де $\widetilde{𝐖}$ — вектор мінімальних ваг, отриманий на попередньому етапіШаблон:Rp.

Статистична значущість результатів

Визначення статистичної значущості одержаних оцінок можна провести різними способами. У статті 2003 року, що оцінює вплив тероризму та інших проявів політичного насильства на економіку Країни Басків, розрахований ефект піддали так званому плацебо-тесту (placebo test), що полягав у застосуванні ідентичного алгоритму синтетичного контролю до Каталонії, яка також відома значним сепаратистським рухом, але не мала проблем, пов'язаних із терористичними проявами цього руху.

Плацебо-тести в літературі, яка використовує метод синтетичного контролю, є прикладом непараметричних пермутаційних тестів. Моделювання синтетичного відгуку для всіх контрольних кейсів у вибірці дозволяє в явному вигляді працювати з імовірнісним розподілом і перевіряти нульову гіпотезу про відсутність казуальних ефектів у кейсі. При цьому немає необхідності асимптотично наближати розподіл цих ефектів у контрольних кейсів до того чи іншого розподілу, що робить тести подібного типу пермутаційними.

Синтетичний контроль як метод передбачення

У літературі запропоновано використовувати синтетичний контроль не лише для оцінки причинно-наслідкових зв'язків, але й для побудови прогнозів. У рамках пілотного дослідження була спроба спрогнозувати економічне зростання в США, однак «пул донорів», використовуваний для отримання ваг, складався вже не з країн зі схожими характеристиками, а з показників економічного зростання з певним часовим лагомШаблон:Rp.

Синтетичний контроль та інші методи

Синтетичний контроль поєднує елементи інших каузальних статистичних методів: Шаблон:Iw і Шаблон:Iw.

У порівнянні з різницею різниць синтетичний контроль пропонує упорядкованішу процедуру підбору ваг для спостережень із контрольної групи, використовує більший часовий проміжок перед дією і вимагає в ході підбору ваг максимально можливого наближення характеристик контрольної групи до характеристик досліджуваного об'єкта.

Метод синтетичного контролю має низку спільних рис із лінійною регресією. Так і синтетичний контроль, і регресійний аналіз припускають лінійну комбінацію ваг і змінних (в останньому ваги, як правило, називають регресійними коефіцієнтами), причому сума ваг дорівнює 1. Основною відмінністю є те, що в синтетичному контролі значення цих ваг належать $[0,1]$, тоді як у регресійному аналізі такого обмеження немає і коефіцієнти практично не інтерпретуються як вагиШаблон:Rp. Так контрфактуальну Німеччину з дослідження 2015 року «синтезовано» на підставі подушного ВВП, рівня інвестицій, торговельної відкритості, кількості шкіл і частки промисловості в доданому продукті Австрії (42 %), США (22 %), Японії (16 %), Швейцарії (11 %) і Нідерландів (9 %).

Симуляції показали, що панельний метод Сяо (фіксовані ефекти з ефектами взаємодії) для дослідження каузальних ефектів є менш робастним до зміни в пулі донорів, ніж синтетичний контроль, хоча використання обох підходів дає задовільні результати. Зазначалося, що синтетичний контроль є кращим, якщо дослідник має дані за додаткові часові періодиШаблон:Rp.

Застосування

Галузь застосування методу синтетичного контролю охоплює дослідження політики у сфері охорони здоров'я, кримінологія, політичну науку, різні розділи економіки.

У політології синтетичний контроль розглядається як компроміс між конвенціональними кількісними і якісними методами, що дозволяє поєднувати фокус на одному або декількох кейсах зі строгими критеріями їх підбору. За допомогою цього методу вивчалися: об'єднання Німеччини для власне ФРН, наслідки федеративної реформи в Бельгії для витрат на соціальне забезпечення.

У географії синтетичний контроль використовують у дослідженнях антропогенних ландшафтів (у рамках Шаблон:Нп)Шаблон:Rp.

У статистичних пакунках

Існують пакунки статистичного програмного забезпечення для аналізу даних за допомогою методу синтетичного контролю. Для мови R розроблено пакунок Synth.

Див. також

• Метод інструментальних змінних