Рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова

Рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова (Шаблон:Lang-en) — рівняння в загальній теорії відносності й астрофізиці, яке описує структуру сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу, що перебуває в статичній гравітаційній рівновазі. Названо на честь Річарда Толмена, Роберта Оппенгеймера і Джорджа Волкова.

Загальний вигляд

Рівняння має вигляд:

$\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm}{r^2}\rho (1+\frac{P}{\rho c^2})(1+\frac{4\pi r^{3}P}{m{c}^2}){(1-\frac{2Gm}{r{c}^2})}^{-1}$

де:

• $r$ — радіальна координата
• $\rho (r)$ і $P(r)$ — густина й тиск матеріалу на радіусі
• $m(r)$ — загальна маса в межах радіуса $r$.

Рівняння виведено з рівнянь Ейнштейна для стаціонарної сферично симетричної метрики. Для розв'язку рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова ця метрика має вигляд

$d{s}^2=e^{\nu }{c}^{2}d{t}^2-{(1-\frac{2Gm}{r{c}^2})}^{-1}d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$

де $\nu (r)$ визначається формулою

$\frac{d\nu }{dr}=-\left(\frac{2}{P+\rho c^2}\right)\frac{dP}{dr}$

Якщо доповнити рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова рівнянням стану, $F(\rho ,P)=0$, яке пов'язує густину з тиском, то ці два рівняння повністю визначать структуру рівноважного сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу. Якщо знехтувати членами порядку $1/c^2$, рівняння Толмена — Оппенгеймера — Волкова перетворюється на рівняння гідростатичної рівноваги, яке використовують для знаходження рівноважної структури сферично симетричного тіла з ізотропного матеріалу, коли релятивістські ефекти не важливі.

Якщо рівняння використовують для моделювання обмеженої кулі у вакуумі, граничні умови мають вигляд $P(r)=0$ і $e^{\nu }=1-2Gm/c^{2}r$. Перша умова означає нульовий тиск на поверхні, а друга умова накладається так, що метрика на поверхні неперервно переходить в метрику Шварцшильда:

$d{s}^2=(1-\frac{2GM}{r{c}^2})c^{2}d{t}^2-{(1-\frac{2GM}{r{c}^2})}^{-1}d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)$

Загальна маса

$m(r)$ — це загальна маса, що міститься всередині радіуса $r$, виміряна за створюваним нею гравітаційним полем. Вона задовольняє умові $m(0)=0$ і розраховується з рівняння

$\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho$

Виміряна за створюваним гравітаційним полем загальна маса об'єкта $M$, обмеженого максимальним радіусом $r=R$, дорівнює

$M=m(R)=\underset{0}{\overset{R}{\int }}4\pi r^2\rho dr$

З іншого боку, обчислення маси шляхом інтегрування густини об'єкта по його об'єму дає більше значення:

$M_1=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{4\pi r^2\rho }{\sqrt{1-\frac{2Gm}{r{c}^2}}}dr$

Різниця між цими двома величинами є від'ємною,

$\delta M=\underset{0}{\overset{R}{\int }}4\pi r^2\rho (1-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2Gm}{r{c}^2}}})dr$,

Це гравітаційна енергія зв'язку об'єкта, поділена на $c^2$.

Виведення із загальної теорії відносності

Припустімо статичну, сферично симетричну ідеальну рідину. Компоненти метрики подібні до компонентів метрики Шварцшильда:

$c^{2}d{\tau }^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=e^{\nu }{c}^{2}d{t}^2-e^{\lambda }d{r}^2-r^{2}d{\theta }^2-r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$

Згідно з припущенням ідеальної рідини, тензор енергії напруження є діагональним (у сферичній системі координат) з наступними власними значеннями густини енергії та тиску:

$T_0^0=\rho c^2$,

$T_i^j=-P{\delta }_i^j$.

Тут $\rho (r)$ — густина рідини, а $P(r)$ — її тиск.

Далі шукаємо розв'язок рівняння поля Ейнштейна:

$\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }$

Спочатку розглядаємо компонент $G_{00}$:

$\frac{8\pi G}{c^4}\rho c^2{e}^{\nu }=\frac{e^{\nu }}{r^2}(1-\frac{d}{dr}r{e}^{-\lambda })$

Інтегруючи цей вираз від 0 до $r$, отримуємо

$e^{-\lambda }=1-\frac{2Gm}{r{c}^2}$,

де $m(r)$ є таким, як визначено в попередньому розділі. Далі розглядаємо компонент $G_{11}$. Для нього знаходимо:

$-\frac{8\pi G}{c^4}P{e}^{\lambda }=\frac{-r{\nu }^{\prime }+e^{\lambda }-1}{r^2}$.

Цей вираз можна спростити, використовуючи формулу для $e^{\lambda }$:

$\frac{d\nu }{dr}=\frac{1}{r}{(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})}^{-1}(\frac{2Gm}{c^{2}r}+\frac{8\pi G}{c^4}{r}^{2}P)$

Ми отримуємо друге рівняння, вимагаючи неперервності тензора енергії-напруження: ${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_{\nu }^{\mu }=0$. Завдяки статичності ${\partial }_t\rho ={\partial }_{t}P=0$ і ізотропії ${\partial }_{\varphi }P={\partial }_{\theta }P=0$, отримуємо

$0={\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}_1^{\mu }=-\frac{dP}{dr}-\frac{1}{2}(P+\rho c^2)\frac{d\nu }{dr}$

Перестановка членів дає:

$\frac{dP}{dr}=-\left(\frac{\rho c^2+P}{2}\right)\frac{d\nu }{dr}$

Це дає два вирази, які обидва містять $d\nu /dr$. Усунувши $d\nu /dr$, отримуємо:

$\frac{dP}{dr}=-\frac{1}{r}\left(\frac{\rho c^2+P}{2}\right)(\frac{2Gm}{c^{2}r}+\frac{8\pi G}{c^4}{r}^{2}P){(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})}^{-1}$

Винесши множник $G/r$ і переставивши множники 2 і $c^2$, отримуємо рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова:

$\frac{dP}{dr}=-\frac{G}{r^2}(\rho +\frac{P}{c^2})(m+4\pi r^3\frac{P}{c^2}){(1-\frac{2Gm}{c^{2}r})}^{-1}$

Історія

Річард Толмен проаналізував сферично симетричні метрики в 1934 і 1939 роках. Наведена тут форма рівняння була виведена Робертом Оппенгеймером і Джорджем Волковим у їхній статті 1939 року «Про масивні нейтронні ядра». У цій статті рівняння стану для виродженого фермі-газу нейтронів було використано для розрахунку верхньої межі ~0,7 сонячні маси для гравітаційної маси нейтронної зорі. Оскільки це рівняння стану нереалістичне для нейтронної зорі, ця гранична маса також є невірною. Використовуючи спостереження гравітаційних хвиль від злиття подвійних нейтронних зір (наприклад, GW170817) і подальшу інформацію від електромагнітного випромінювання (кілонова), було показано, що максимальна маса нейтронної зорі (так звана межа Толмена — Опенгеймера — Волкова) близька до 2,17 маси Сонця. Попередні оцінки цієї межі коливаються від 1,5 до 3,0 мас Сонця.

Постньютонівське наближення

У постньютонівському наближенні, тобто для гравітаційного поля, яке лише трохи відрізняється від ньютонівського поля, рівняння можна розкласти за степенями $1/c^2$. Тоді рівняння Толмена — Опенгеймера — Волкова дає:

$\frac{dP}{dr}=-\frac{Gm}{r^2}\rho (1+\frac{P}{\rho c^2}+\frac{4\pi r^{3}P}{m{c}^2}+\frac{2Gm}{r{c}^2})+O(c^{-4}).$

Див. також

• Межа Толмена — Опенгеймера — Волкова