Рівняння Слуцького

Рівняння Слуцького (Шаблон:Lang-en) — рівняння, сенс якого полягає в тому, що зміна попиту на певний товар при підвищенні або зниженні його ціни складається з впливу зміни попиту і непрямого впливу попиту на інші товари. Рівняння показує, що зміна в попиті на i-й товар при зміні ціни j-го товару є результатом двох ефектів: еффекту заміщення і ефекту доходу.

Математичний вигляд рівняння

$x_i(p,\overline{u})=x_i(p,e(p,\overline{u})),$

$\frac{\partial x_i(\tilde{p},\tilde{I})}{\partial p_j}=\frac{\partial x_i(\tilde{p},\overline{u})}{\partial p_j}+\frac{\partial e(\tilde{p},\overline{u})}{\partial p_j}\cdot \frac{\partial x_i(\tilde{p},\tilde{I})}{\partial I}=\frac{\partial x_i(\tilde{p},\overline{u})}{\partial p_j}-x_j(\tilde{p},\tilde{I})\cdot \frac{\partial x_i(\tilde{p},\tilde{I})}{\partial I},$

де $\tilde{p},\tilde{I},\overline{u}$ — задані рівні цін, доходу і корисності.

Рівняння Слуцького через еластичність

Якщо помножити вихідне рівняння Слуцького на $p_j$ і поділити $x_i(\tilde{p},\tilde{I})$, то отримаємо рівняння Слуцького в термінах еластичностей попиту за ціною та доходом:

${\epsilon }_{i{p}_j}={\epsilon }_{i{p}_j}^h+{\epsilon }_{iI}\cdot {\alpha }_i$

де

• ${\epsilon }_{i{p}_j}$ — еластичність попиту на i-й товар по ціні j-го

• ${\epsilon }_{i{p}_j}^h$ — еластичність компенсованого попиту на i-й товар за ціною j-го (тобто без урахування ефекту доходу)

• ${\epsilon }_{iI}$ — еластичність попиту на i-й товар за доходом споживача

• ${\alpha }_i$ — частка витрат на покупку i-го товару в доході споживача

Матриця Слуцького

Похідні $s_{ij}=\frac{\partial x_i(p,u)}{\partial p_j}=\frac{\partial x_i(p,I)}{\partial p_j}+x_j(p,I)\cdot \frac{\partial x_i(p,I)}{\partial I}$ можуть бути зведені в матрицю Слуцького коефіцієнту заміщення S(p, I), що володіє наступними властивостями:

1. Симетричність: $s_{ij}=s_{ji}$ (випливає з леми Шепарда і теореми Юнга).
2. Негативна напіввизначеність;
3. Рівність нулю при множенні на вектор цін: $S(p,I)𝐩=0$.

Матричне подання корисно тим, що властивості матриці дозволяють не обчислювати безпосередньо всі похідні.

Джерела

• Горкіна Л. П. СЛУЦЬКИЙ Євген Євгенович [Електронний ресурс]. — Режим доступу: http://www.history.org.ua/?termin=Slutskyj_Y

Посилання

• Ефекти заміщення за Слуцьким
• РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО
• БІОГРАФІЯ